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aa2191943 · 由 **aa2191943** 於星期一七月 24, 2006 11:35 pm

1.試解該方程組

x + y + z = 3,

x²+ y²+ z²= 3,

x³+ y³+ z³= 3

2.試解該方程組

x + y + z = 6,

x²+ y²+ z²= 14,

x³+ y³+ z³= 36

3.試解該方程組 (x, y, z為整數)

x + y + z = 0,

x³+ y³+ z³= -18

lcflcflcf · 由 **lcflcflcf** 於星期二七月 25, 2006 12:51 am

1.
by Cauchy-Schwarz Inequality
(x^2+y^2+z^2)(1+1+1)≧(x+y+z)^2
9≧9
equality hold if and only if when x^2/1=y^2/1=z^2/1
=>|x|=|y|=|z|
from x^2+y^2+z^2=3
=>|x|=|y|=|z|=1
from x+y+z=3
=>x=y=z=1

lcflcflcf · 由 **lcflcflcf** 於星期二七月 25, 2006 1:01 am

3.
x+y+z=0
x^3=-(y^3+3y^2z+3yz^2+z^3)
x^3+y^3+z^3=-18
y^3+z^3-(y^3+3y^2z+3yz^2+z^3)=-18
yz(y+z)=6
解方程且符合兩原方程，得
(x,y,z)=(2,1,-3),(1,2,-3),(2,-3,1),(1,-3,2),(-3,1,2),(-3,2,1)

aa2191943 · 由 **aa2191943** 於星期二七月 25, 2006 8:55 am

第三題的作法有類似的:

利用a³+b³+c³-3abc

第一題可以更快......

aa2191943 · 由 **aa2191943** 於星期二七月 25, 2006 12:57 pm

第二題我直接說好了:

明顯地, 答案是(1,2,3)等六組變換

用1,2兩式求出 ab + bc + ca ;

再求出 abc

最後用根與係數去說明

GFIF · 由 **GFIF** 於星期日七月 30, 2006 5:22 pm

3.
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=0
-3xyz-18=0
xyz=-6
(x,y,z)=(1,2,-3), (1,-3,2),(2,1,-3),(2,-3,1),(-3,1,2),(-3,2,1)

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[數學]特殊方程祖

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