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aa2191943 · 由 **aa2191943** 於星期日七月 23, 2006 7:33 pm

95.07.23.

1. 試找出所有正整數 n 小於20, 使得 nⁿ+ 1 為質數

2. 試解方程組: x + y = zt , z + t = xy , x , y , z , t 皆為正整數

註: 第二題, 不要將 xy 與 zt 看成二位數, 是兩數之積

aa2191943 · 由 **aa2191943** 於星期二七月 25, 2006 12:53 pm

其實這兩題都不會太難, 是中間程度的題目,

大家都可以做做看, 做不出來我再公佈答案

piny · 由 **piny** 於星期三七月 26, 2006 1:56 am

第二題

可看出原式為 (xz-1)(xt-1)=x^3+1

當x=1時，(x,y,z,t)=(1,5,2,3),(1,5,3,2)

　x=2時，(x,y,z,t)=(2,2,2,2),(2,3,1,5),(2,3,5,1)

　x=3時，(x,y,z,t)=(3,2,1,5),(3,2,5,1)

　x=5時，(x,y,z,t)=(5,1,2,3),(5,1,3,2)

找不到其他解了

aa2191943 · 由 **aa2191943** 於星期三七月 26, 2006 8:14 pm

嗯, 第二題完全正確......

第一題可應用因式分解......

aaddfg · 由 **aaddfg** 於星期四七月 27, 2006 11:40 am

第一題
首先淘汰掉除了1以外的奇數(奇數的奇次方+1為偶數)
剩下1,2,4,6,8,10,12,14,16,18
看看6
6^2　　　≡-1　(37)
(6^2)^3 ≡-1　(37)
6^6+1　 ≡0 　(37)
所以6也去掉了
同理可刪掉6,10,12,14,18
剩下1,2,4,8,16
其中8^8=2^24=(2^8)^3故不合
故答案為1,2,4,16

我用同餘...如何用因式分解??

tangpakchiu · 由 **tangpakchiu** 於星期四七月 27, 2006 11:52 am

aaddfg 寫到:第一題
首先淘汰掉除了1以外的奇數(奇數的奇次方+1為偶數)
剩下1,2,4,6,8,10,12,14,16,18
看看6
6^2　　　≡-1　(37)
(6^2)^3 ≡-1　(37)
6^6+1　 ≡0 　(37)
所以6也去掉了
同理可刪掉6,10,12,14,18
剩下1,2,4,8,16
其中8^8=2^24=(2^8)^3故不合
故答案為1,2,4,16

我用同餘...如何用因式分解??

aaddfg很強ar.....怎麼想到mod37???而且我還有些地方不明白:為什麼8^8=2^24=(2^8)^3，所以不合????而且我還想知道是否一個數不被37整除就代表它是質數呢???x^n+y^n，我記得應有公式...忘了~~~~

宇智波鼬 · 由 **宇智波鼬** 於星期四七月 27, 2006 1:25 pm

是呀...我也有點不解.
怎證16^16+1是質數?

x^n+y^n的公式是有的...但n為奇數.

tangpakchiu · 由 **tangpakchiu** 於星期四七月 27, 2006 1:34 pm

宇智波鼬，可以告訴x^n+y^n，和x^n-y^n的公式和n有什麼限制給我知嗎???

宇智波鼬 · 由 **宇智波鼬** 於星期四七月 27, 2006 1:58 pm

8^8+1=(2^8)^3+1=(2^8+1)(2^16-2^8+1) 所以不合.

(n可為任意數)

n=2^m次時不可分解. (抱歉之前說成不能是偶數)

aaddfg · 由 **aaddfg** 於星期五七月 28, 2006 11:18 am

tangpakchiu 寫到:(這句話不存在)怎麼想到mod37???而且我還有些地方不明白:為什麼8^8=2^24=(2^8)^3，所以不合????而且我還想知道是否一個數不被37整除就代表它是質數呢???x^n+y^n，我記得應有公式...忘了~~~~

要把數字刪掉,就要盡量證明他可以被某數整除(同餘0)
先講一下-1^(2n-1)=-1(就是說-1的奇次方=-1)
而-1+1=0
故我取37,才可以讓6^6餘-1
8^8+1=2^24+1=(2^8)^3+1一定可以被2^8+1整除,用的就是上面的原理

至於說16^16次方,老實講我也不是很肯定,但是若以我這個方法的話是求不到他有其他的因數,但也不能證明他是質數(汗...

tangpakchiu 寫到:而且我還想知道是否一個數不被37整除就代表它是質數呢???

回:並不是的...8並不能被37整除他也不是質數

aaddfg · 由 **aaddfg** 於星期五七月 28, 2006 11:24 am

剛剛上網找到了.....16^16+1不是質數...
2^64 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

http://zh.wikipedia.org/wiki/费马质数

tangpakchiu · 由 **tangpakchiu** 於星期五七月 28, 2006 2:14 pm

那aa2191943可以公佈solution嗎???

gkw0824usa · 由 **gkw0824usa** 於星期五七月 28, 2006 4:19 pm

tangpakchiu 寫到:
宇智波鼬，可以告訴x^n+y^n，和x^n-y^n的公式和n有什麼限制給我知嗎???

原則上次方為偶數的數字之和無法分解成純實數相乘，但的確存在其分解方式:

EX:a²+b²=(a+b√-1)(a-b√-1)

很明顯的，這種分解方式不是很實用...

宇智波鼬 · 由 **宇智波鼬** 於星期五七月 28, 2006 4:36 pm

這個我知道...
但是因為那樣子分解對此題沒有什麼幫助.所以才那樣說的.

不過這題又到底是要怎樣解才算完美呢?

aa2191943 · 由 **aa2191943** 於星期五七月 28, 2006 7:36 pm

參考:

(1)若 n > 1, 但不是 2 的乘冪, 則 nⁿ+1 必為合數

( 因為aⁿ+1=(a+1)(a^n-1-a^n-2+a^n-3- ...... +a²-a+1) )

(2)故 n 只能取1,2,4,8,16

(3)明顯的,n=1,2,4合, 8不合

(4) 16¹⁶+ 1 = 2⁶⁴+ 1 = 2^(2⁶)+1, 已知費馬數, n = 6為合數

所以答案: n = 1,2,4

宇智波鼬 · 由 **宇智波鼬** 於星期五七月 28, 2006 9:45 pm

莫斯科數學奧林匹克考費馬數!?
那這應該是很高竿的比賽囉...
還有其他題目嗎? (摩拳擦掌ing~)

aa2191943 · 由 **aa2191943** 於星期六八月 12, 2006 5:12 pm

95.08.12.

3. proof : 費不納西數列中連續八項之和不可為數列中的其他項

aa2191943 · 由 **aa2191943** 於星期六八月 12, 2006 9:13 pm

4. 試求下列方程之實數解: ( 難度: 十年級 )

( x - 50 ) / 49 + ( x - 49 ) / 50 = 49 / ( x - 50 ) + 50 / ( x - 49 )

adam12_3 · 由 **adam12_3** 於星期六八月 19, 2006 8:08 pm

這題我會
4.令a=,b=
原式改為
<1>若a+b不為0
同乘以得ab=1
即
化簡：x=0,99
<2>若a+b=0

化簡：
故
--------------------------------------------
共三組解

tangpakchiu · 由 **tangpakchiu** 於星期日九月 03, 2006 6:57 pm

可以請aa2191943繼續出題嗎??而且可否給出fibonacci那題的解法???

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