[試卷]2003年<<高中組複賽>>試卷

[試卷]2003年<<高中組複賽>>試卷

yll 於 星期日 四月 27, 2003 6:03 pm


2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽<<高中組>>複賽試卷 ㄏㄏㄏ

1.試卷提供:Herbie(宏宏)

2.請確定這是你參賽的組別
3.請注意
在你按下"回覆文章"回覆本考題的同時
你將看到考題
這也就是你的開考時間
請確定你有一完整的120分鐘作答

4.請在120分鐘內
用"這篇文章需要收費100000Y幣 "的方式隱藏你的答案
超過時間請不要再修改你的答案
違者以0分計

5.等比賽宣佈結束
會公佈大家的答案和成績



6.請確定看過試卷示例
http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/viewtopic.php?t=2022

7.在你有任何疑問時
請不要按下"回覆文章"
否則後果自負




8.按下"回覆文章"計時120分開始

yll
帥哥良~
帥哥良~
 
文章: 4368
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來自: 天父的小花園~

yll 於 星期日 四月 27, 2003 6:06 pm


2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽高中組複賽試卷

                 暱稱:___________ 編號:____________

                           時間限制:120分鐘

   一、證明題,共20分,一格10分

   恭喜!總算進入到了複賽,廢話不多說,請試解下列題目:

  【問題1】證明(1+2+3+…+n)/n不會是個循環小數

  【問題2】如右圖,AH為銳角三角形ABC的高,在AH上任取一點D
           (但D≠H,D≠A),作BD並延長交AC於點E,又作CD並延長
           交AB於點F。試證∠AHE=∠AHF

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

二、計算題,一題40分,共80分(請把你的想法跟算式寫出來,至少能有部分
    分數)

  【第一題】ACFI為一邊長10cm的正方形,DE=2cm,EH=9cm,HG=3cm
試求四邊形BJHE面積 (BG與JD的交點我們設為R好了
則請在角JRG和角JDE那畫兩個直角符號就是〝┐〞←這個啦)


左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

【第二題】考慮形如x,2000,y,…之正實數組成的無窮數列,其中除第一項外,
            每一項均較其前後緊鄰兩項的乘積少1,試問有多少個不同x值
            會使得2001出現在此數列的某處。

yll
帥哥良~
帥哥良~
 
文章: 4368
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來自: 天父的小花園~

---- 於 星期日 四月 27, 2003 7:01 pm


1. (1+...+n)/n = n(n+1)/2n = (n+1)/2
故此數不是整數,其小數部份便會是5,故沒可能是循環小數。

2.畫一線過A且平行BC,延長FH 和EH 分別交此線於F' 和E'。
連FF' 和EE' ,由AAA有F'AF 相似FBH 和 E'AE 相似ECH
有:
HC/AE' = EC/EA 和 AF'/BH = FA/BF
由塞瓦定理:
BH/HC * CE/EA * AF/FB=1
代入得:
BH/HC * HC/AE' * AF'/BH = 1
AF'/AE' = 1
AF'=AE'

AF'=AE' (已證)
角F'AH=角E'AH=90 (corr angles, F'E'//BC)不好意思,我真的不知道corr. angle的中文是甚麼
AH=AH(公共邊)
故F'AH 全等E'AH
角AHF'=角AHE'
命題得證。

1.
設EF=a,GF=b,則可輕易推得:
CD=8-a
BC=b
AB=10-b
AJ=8-a
JI=2+a
IH=7-b

以[ABC]代表三角形ABC的面積,則有:
[BCE]+[HEF]+[HIJ]+[JAB]
=(1/2)[(b)(10-a)+(a)(b+3)+(7-b)(2+a)+(8-a)(10-b)]
=(1/2)(10b-ab+ab+3a+14-2b+7a-ab+80-10a-8b+ab)
=(1/2)(14+80)
=47
則所求四邊形的面積為:100-47=53

2.
按題目條件有:
f(n-1)f(n+1)-1 = f(n)
其中f(n) 是這數列中的第n項,
即f(n+1)= [f(n)+1]/f(n-1)
用此式慢慢求出每項:
x, 2000, 2001/x, (2001+x)/2000x, (x+1)/(2000), x, ...
有一個循環。
若要數列中有一項是2001,即首五項中要有一項是2001
若第一項是2001,即x=2001
第二項不會是2001
第三項是2001,即x=1
第四項是2001,即x=2001/4001999
第五項是2001,即x=4001999
故x有四值可取。

----
訪客
 

yptsoi 於 星期日 四月 27, 2003 9:11 pm


一.

1.當n為正整數時,(1+2+...+n)/n=[n(n+1)/2]/n=(n+1)/2。
當n為偶數時,(n+1)/2=a+0.5 當a為正整數。
當n為奇數時,(n+1)/2=b 當b為正整數。
綜合後得證。

2.左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

二.
1. 53。

2.看不懂。

yptsoi
訪客
 

Herbie 於 星期一 四月 28, 2003 1:04 pm


go go go
流星~~流星~~雖然倏的而逝,但是他發出的光芒可是閃閃耀人、令人驚嘆!

IChO要再2005年時在台灣舉行喔

我們台灣奧運加油!

Herbie

 
文章: 841
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來自: 港都-打狗

Raceleader 於 星期三 四月 30, 2003 11:49 am


暱稱:Raceleader


【問題1】
1+2+3+...+n=(n/2)(n+1)
(1+2+3+…+n)/n=(n+1)/2

如果n是奇數,那麼(n+1)/2是整數,從而(1+2+3+…+n)/n是整數
如果n是偶數,那麼(n+1)/2是0.5的奇倍數,從而(1+2+3+…+n)/n是0.5的奇倍數

因此,(1+2+3+…+n)/n必為0.5的倍數,從而不會是循環小數。



【問題2】
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
為方便計算,設BC為水平線,A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(0,d),H(0,0),a,b,c,d各不相等。
註:這設定只為方便計算,不會失去一般性

因為△ABC是銳角三角形,那麼任兩邊的平方和都大於第三邊的平方
而且∠AHE及∠AHF必為銳角

利用兩點式,可得:
AB:ax+by=ab ---(1)
BC:y=0 ---(2)
CA:ax+cy=ac ---(3)
ADH:x=0 ---(4)
BDE:dx+by=bd ---(5)
CDF:dx+cy=cd ---(6)

解(3)及(5):
E{[(abc-bcd)/(ab-cd)],[(abd-acd)/(ab-cd)]}

解(1)及(6):
F{[(abc-bcd)/(ac-bd)],[-(abd-acd)/(ac-bd)]}

EH的斜率=(abd-acd)/(abc-bcd)
FH的斜率=-(abd-acd)/(abc-bcd)

tan(∠EHC)=|EH的斜率|=(abd-acd)/(abc-bcd)
tan(∠FHB)=|FH的斜率|=(abd-acd)/(abc-bcd)
∴∠EHC=∠FHB

因為ADH是垂直線(x=0)
∴∠AHC=90°
∴∠AHE=∠AHF



【第一題】
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
N在DJ上,使NH垂直FI。M在NH上,使ME垂直CF。連NH及ME。

ACFI是一正方形 (已知)
∴AC=CF=FI=IA=10cm (正方形性質)
∴∠ACF=∠CFI=∠FIA=∠IAC=90° (正方形性質)
∠JNH=∠NKG=∠KDF=∠NME=∠MEF=90° (已知)
∴AC//JD//ME//IF (同位角相等)
∴AI//NH//BG//CF (同位角相等)
∴ABKJ,BCEL,MEFH,NKLM及JNHI是長方形 (根據定義)
∴NM=KL=DE=2cm (長方形性質)
∴NK=ML=HG=3cm (長方形性質)

因為JB,BE,EH及HJ分別是ABKJ,BCEL,MEFH及JNHI的對角線
因此△JBK,△BLE,△EMH,△HIJ的面積分別是ABKJ,BCEL,MEFH及JNHI的面積的一半

(ABKJ+BCEL+MEFH+JNHI)的面積=ACFI的面積-KLMN的面積
(ABKJ+BCEL+MEFH+JNHI)的面積=(10)(10)-(3)(2)=94cm2

∴(△JBK+△BLE+△EMH+△HIJ)的面積
=(ABKJ+BCEL+MEFH+JNHI)的面積/2
=94/2
=47cm2

四邊形JBEH的面積
=(△JBK+△BLE+△EMH+△HIJ+KLMN)的面積
=47+6
=53cm2



【第二題】
正實數數列:a1,a2,a3,...
當n≧2,an=an-1an+1-1

設x=2001/a,a是非0正實數,那麼數列:
(2001/a), 2000, a, (a+1)/(2000), (2001+a)/(2000a), (2001/a), 2000, ...
發現數列每5項便一循環
因此我們只需考慮首5項便可

1. 2001/a=2001,a=1
2. 2000≠2001
3. a=2001,a=2001
4. (a+1)/(2000)=2001,a=4001999
5. (2001+a)/(2000a)=2001,a=2001/4001999

因此共有4個不同的x值使某項數=2001
x=2001/4001999,1,2001或4001999

Raceleader
訪客
 

Tassader-VIII 於 星期日 五月 04, 2003 11:59 am


一.填充題

[問題一]令s=(1+2+3...+n)/n
當n=1時,s=1=1/1
令n=k,s=(1+2+3+...+k)/k=((1+k)*k/2)/k=(1+k)/2
則n=k+1,s=(1+2+3+...+k+k+1)/k+1=(k+2)/2
.........
再來我就不會了 害羞
-------------------------------------------------------------
[問題二]
我不會害羞
______________________________________
二.計算題

[問題一]
我的想是求出線段BH與線段JE的長
線段BH=((線段BG)^2+(線段GH)^2)^(1/2)=(109)^(1/2)
線段JE=((線段JD)^2+(線段DE)^2)^(1/2)=(104)^(1/2)
則所求之四邊形BJHE面積=(109)^(1/2)*(104)^(1/2)=2*(26*109)^(1/2)
-------------------------------------------------------------------------------
[問題二]
我不會 害羞

Tassader-VIII
訪客
 

紅樓子 於 星期日 五月 04, 2003 6:27 pm


【問題1】證明(1+2+3+…+n)/n不會是個循環小數
proof. 原式=[n(n+1)/2]/n=(n+1)/2,顯然為有限小數。

紅樓子
訪客
 

於 星期日 五月 04, 2003 8:32 pm


問題1:1+2+..+n/n=n(n+1)/2/n=n+1/2
又正整數可以表示成2k or 2k+1 k為正整數,故n+1/2=k+0.5 or k+1 恆不為無限循環小數

計算1:假設GF=x,EF=y,HI=(7-x),JI=(y+2),AJ=(8-y),AB=(10-x),BC=x,CE=(10-y),
BEHJ=100-(BCE+EFH+HIJ+JAB)=100-1/2{x(10-y)+(x+3)y+(7-x)(y+2)+(10-x)(8-y)}=100-1/2*94=53 cm^2

計算2:x,2000,y,(y+1)/2000,(y+2001)/2000y,2001/y,2000,y,....
6項為1個循環,故討論前6項就okㄌ
故可能的y值有:2001,4001999,2001/40011999,1
相對應的可能x值有4個,故答案為4個

訪客
 

superleo 於 星期六 五月 10, 2003 4:30 pm


1) 因為 1+2+...+n = [n(1+n)]/2, 所以 (1+2+...+n)/n = [n(1+n)]/2n
即是 (1+n)/2, 而任何數除以2都不會是個循環小數, 所以 (1+2+...+n)/n 不會是個循環小數.

2) 不懂, 放棄......

3) 設RD與BE的交點為K, ∠DKE=∠BKR (對角相同)
加上已給∠BRK=∠KDE=直角, 故∠RDK=∠DEK
所以DKE=BRK (AAA)

AJ=BR=CD=DE=2cm
EF=6cm
EH^2=EF^2+HF^2
所以HF=√(45)
HI=10-√(45), GF=√(45)-3, GI= 10-√(45)+3

總面積為
10^2= 1/2[√(45)-3]*(2+2) + 1/2 [√(45)]*6 + 1/2 [10-√(45)]*8 + 1/2 [10-√(45)+3]*2 + BJHE

所以BJHE = 100 - {1/2[√(45)-3]*(2+2) + 1/2 [√(45)]*6 + 1/2 [10-√(45)]*8 + 1/2 [10-√(45)+3]*2}

沒有計算機算不出, 如算出來, 就是 53.29cm^2

4) 完全不明白題目, 對不起了

對不起, 數學太爛了.)

superleo

 
文章: 615
註冊時間: 2003-02-27
來自: 香港

heron0520 於 星期六 五月 10, 2003 4:51 pm


1.1 (n+1)n/2n=(n+1)/2是一簡單分數 它是個循環小數
1.2
2.1 (10*10-2*3)/2+2*3
    =50-3+6
    =53
2.2
當把握........

heron0520

 
文章: 406
註冊時間: 2003-03-31

[數學]^^"

Searchtruth 於 星期六 五月 10, 2003 10:48 pm


一~
1.
因為(1+2+3+...+n)=n(n+1)/2
=>(1+2+3+...+n)/n=(n+1)/2
(n+1)一定是自然數~
所以~(n+1)/2一定是不循環小數~~
(為什麼應該不用證ㄅ?!@@")
2.幾何我最弱~跳過^^"
二~
1.還要做圖...用說ㄉ有點麻煩...我大約說一下做法就好ㄌ@@"
舉例~像在ABRJ中~我們所求佔有的面積只有一半..
其他的就做線~過H垂直JD交於X
過E垂直AI並交於BG和XH於Z及Y
矩形BCEZ~矩形YEFH~矩形XJIH也都一樣ㄉ情形~
最後剩下XRZY
1/2矩形ACFI的面積=所求的面積-1/2矩形XRZY
=>所求=(1/2)10*10+(1/2)*3*2
         =50+3
         =53平方公分~
2.第一項為x~第二項為2000~第三項為y
經由一些計算~
=>第三項=2001/x
=>第四項=(2001+x)/2000x
=>第五項=(x+1)/2000
=>第六項=x
=>第七項=2000
此時~
=>此數列為五ㄍ一循環~
欲有2001
在第一項中~x=2001
再第三項中~x=1
在第四項中~x=2001/4001999
再第五項中~x=4001999
=>總共有4個...

Searchtruth
訪客
 






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