[試卷]2003年<<青年組決賽>>試卷

[試卷]2003年<<青年組決賽>>試卷

yll 於 星期日 四月 27, 2003 5:35 pm


2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽<<青年組>>決賽試卷 ㄏㄏㄏ


1.試卷提供:Herbie(宏宏)

2.請確定這是你參賽的組別
3.請注意
在你按下"回覆文章"回覆本考題的同時
你將看到考題
這也就是你的開考時間
請確定你有一完整的300分鐘作答

4.請在300分鐘內
用"這篇文章需要收費100000Y幣 "的方式隱藏你的答案
超過時間請不要再修改你的答案
違者以0分計

5.等比賽宣佈結束
會公佈大家的答案和成績



6.請確定看過試卷示例
http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/viewtopic.php?t=2022

7.在你有任何疑問時
請不要按下"回覆文章"
否則後果自負




8.按下"回覆文章"計時300分開始

yll
帥哥良~
帥哥良~
 
文章: 4367
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來自: 天父的小花園~

yll 於 星期日 四月 27, 2003 5:42 pm


2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽青年組決賽試卷

                 暱稱:___________ 編號:____________

                         時間限制:5小時

    加油!勝利就在不遠處了!發揮你的所有潛能!準備接招下列題目!

一、計算題,共200分,一題25分(請把你的想法跟算式寫出來,至少能有部
    分分數)

  【問題1】∠ABD=12∘,∠DBC=36∘, ∠ACB=48∘, ∠DCA=24∘求∠ADB
            (不可用座標或三角函數算,違者此題沒分。禁止使用此方法
http://yll.loxa.edu.tw/phpBB2/viewtopic.php?t=1311)


左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

【問題2】平太同學的班級要選出4個幹部。每個人都拿出一張投票用紙,
            寫下包括自己在內的全班同學中的4個人。
            平太將投票用紙收齊之後,發現一件有趣的事;不管拿出哪2張
            投票紙,一定會發現其中1個人的名字是相同的。請問這個班上
            有幾個人?
            必須注意:1張投票紙之不可以寫2個相同的名字。

  【問題3】有如下圖般的六角形ABCDEF,
           且∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120∘
           AB=BC=CD,AF=DE
           △FCE=60cm2
請求出這六邊形ABCDEF的面積。

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

【問題4】A、B、C、D四個國家的4對夫妻,在某場宴會中圍著一張圓桌
           而坐。
           這8個人都很會吃醋,排位置時都不讓丈夫與別國的妻子為鄰,或
           是讓自己的妻子坐在其他國家的男性身旁。
           這樣的坐法共有幾種?請依A國的丈夫之座位已經決定好的情況
           作答。
           必須注意:即使座位順序相同,若左右不同,仍視為不同的坐法。

  【問題5】時鐘壞了,無法區別長針和短針。
           但是,從2根指針所指的位置判斷,大致上可以知道1個正確的時
           間。
           不過,有時候會出現2個正確時刻的情況。
           從正午到凌晨0點的12小時之內,總共會有幾次無法判斷時間呢?
           不包括正午和凌晨0點。此外,這時鐘並沒有秒針。

  【問題6】26顆玻璃彈珠分裝在abcde等5個袋子裡面,每個袋子裡面的彈
            珠數量都不同,而且都在1個以上。
            只要袋子內的彈珠超過11個,秤量的磅秤就會嗶嗶叫。如下圖所
            示,使用這樣的磅秤時若a和e或b和c或c和d放在一起秤會
            嗶嗶叫,但a和c放在一起秤的話就不會嗶嗶叫。
            現在請將裝入5個袋子的數量由小到大,依順序寫出全部的組合
            (別考慮袋子的重量,寫數量就好,別寫袋子編號)

  【問題7】有許多貨物,總重量是19500kg。雖然不知道各項貨物的重量,但
            知道沒有任何1件貨物比350kg重。現在有幾輛最多能夠載1500kg
            貨物的卡車,想用這幾輛卡車將貨物運完。
            不管每一件貨物的重量各是多少,若要一次將所有的貨物運完,
            至少需要幾輛卡車(不需考慮貨物的容積)

  【問題8】王同學的班上共有29位學生,座號分別是1~ 29號。
            高同學、陳同學、李同學3個人的座號依序越來越大,且3個人
            座號的積是360。了解這種情況的王同學做了以下的發言:
           「接下來,只要再知道這3個人座號的和,我就知道他們分別是
            幾號了。」
            那麼,說這話的王同學,它的座號是幾號?
            請回答出所有你想的到的座號。

yll
帥哥良~
帥哥良~
 
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來自: 天父的小花園~

--- 於 星期日 四月 27, 2003 10:32 pm


【問題1】∠ABD=12°,∠DBC=36°, ∠ACB=48°, ∠DCA=24°求∠ADB
(不可用座標或三角函數算,違者此題沒分。禁止使用此方法

geometry, give up


【問題2】平太同學的班級要選出4個幹部。每個人都拿出一張投票用紙,
寫下包括自己在內的全班同學中的4個人。
平太將投票用紙收齊之後,發現一件有趣的事;不管拿出哪2張
投票紙,一定會發現其中1個人的名字是相同的。請問這個班上
有幾個人?
必須注意:1張投票紙之不可以寫2個相同的名字。

(1) every number shown 4 times

According to my memory, n=14

Ans: 14


【問題3】有如下圖般的六角形ABCDEF,
且∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°
AB=BC=CD,AF=DE
△FCE=60cm2
請求出這六邊形ABCDEF的面積。

geometry, give up


【問題4】A、B、C、D四個國家的4對夫妻,在某場宴會中圍著一張圓桌
而坐。 這8個人都很會吃醋,排位置時都不讓丈夫與別國的妻子為鄰,或
是讓自己的妻子坐在其他國家的男性身旁。
這樣的坐法共有幾種?請依A國的丈夫之座位已經決定好的情況
作答。
必須注意:即使座位順序相同,若左右不同,仍視為不同的坐法。

ABCDdpqa: 4!*2=48
ABbcCDda: 4!/2=12
Ans: 60


【問題5】時鐘壞了,無法區別長針和短針。
但是,從2根指針所指的位置判斷,大致上可以知道1個正確的時
間。 從正午到凌晨0點的12小時之內,總共會有幾次無法判斷時間呢?

長針point to x和短針point to y。
y=mod(x*12,12) ==> y=12x-k, k=0,1,2,...111
x=mod(y*12,12) ==> x=12y-p, p=0,1,2,3,...,11
12>x>0

for every k, there are 12 solutions
12*12-12=132

Ans: 132

【問題6】26顆玻璃彈珠分裝在abcde等5個袋子裡面,每個袋子裡面的彈
珠數量都不同,而且都在1個以上。
只要袋子內的彈珠超過11個,秤量的磅秤就會嗶嗶叫。如下圖所
示,使用這樣的磅秤時若a和e或b和c或c和d放在一起秤會
嗶嗶叫,但a和c放在一起秤的話就不會嗶嗶叫。
現在請將裝入5個袋子的數量由小到大,依順序寫出全部的組合
(別考慮袋子的重量,寫數量就好,別寫袋子編號)
a,b,c,d,e are nature numbers
a+b+c+d+e=26
a+e>=12
b+c>=12
c+d>=12
11>=a+c
b,d have equal conditions, so, I let b>=d+1
==> e>=c+1, b>=d+1>=a+2
==> 26=a+b+c+d+e>=a+2+a+c+1+a+1+c=4+3a+2c
==> 22>=3a+2c
==> 6>=a, 9>=c

after calculatin on Excel, thre is no solutions.
I think you meant "只要袋子內的彈珠超過10個,秤量的磅秤就會嗶嗶叫"
then the answer:
1     4     9     2     10
1     4     8     3     10
2     4     8     3     9




【問題7】有許多貨物,總重量是19500kg。雖然不知道各項貨物的重量,但
知道沒有任何1件貨物比350kg重。現在有幾輛最多能夠載1500kg
貨物的卡車,想用這幾輛卡車將貨物運完。
不管每一件貨物的重量各是多少,若要一次將所有的貨物運完,
至少需要幾輛卡車(不需考慮貨物的容積)

19500=p1+p2+...+pn = 350*55+250
every pi<=350
i>=56

350*4=1400
1500/5=300
1500-300=1200 <pm1+pm2+...<=1500

19500/1200=16.25

Ans: 16 cars

【問題8】王同學的班上共有29位學生,座號分別是1~ 29號。
高同學p、陳同學q、李同學r, 3個人的座號依序越來越大,且3個人
座號的積是pqr=360。了解這種情況的王同學做了以下的發言:
「接下來,只要再知道這3個人座號的和,我就知道他們分別是
幾號了。」
那麼,說這話的王同學,它的座號是幾號(=s)
請回答出所有你想的到的座號。
p<q<r, pqr=360
p<360^(1/3)<7.12
p<=6

p=1,2,3,4,5,6
when p=6, qr=60, but q,r>=8>p=6,  不合

possible solutions:
p,q,r,(p+q+r)
1     15     24          40
1     18     20          39
2     9     20          31
2     10     18          30
2     12     15          29
3     5     24          32
3     6     20          29
3     8     15          26
3     10     12          25
4     5     18          27
4     6     15          25
4     9     10          23
5     6     12          23
5     8     9          22

p+q+r=23,25,29時有2組解
{2,12,15,3,6,20}^{3,10,12,4,6,15}^{4,9,10,5,6,12}
={6,12}

Ans: 6 or 12

---
訪客
 

---- 於 星期日 四月 27, 2003 11:11 pm


3.
設 AB=BC=CD=a,AF=DE=b
連AC。
注意角CAF=90
由餘弦定理,AC=sqrt3 a
由畢氏定理,FC=sqrt(3a^2+b^2)
由餘弦定理,CE=sqrt(a^2+b^2+ab)
注意角ACF+角ECD=60
tan ACF = b/sqrt3 a

cos ECD = (a^2+a^2+b^2+ab-b^2)/(2)(a)(sqrt(a^2+b^2+ab))
cos ECD = (2a+b)/(2sqrt(a^2+b^2+ab))
sin^2 ECD = 3b^2/(4(a^2+b^2+ab))
sin ECD = sqrt3 b/2sqrt(a^2+b^2+ab)

tanECD = sqrt3 b / (2a+b)

tan(ACF+ECD) = tan60
(tanACF+tanECD)/(1-tanACFtanECD)=sqrt3
簡化得:
3a^2-ab-2b^2=0
(3a+2b)(a-b)=0
a=b
即FC=2a, CE=sqrt3 a
(1/2)(2a)(sqrt3 a)(sin60) = 60
a^2(sqrt3)(sqrt3/2) = 60
a^2=40
a=sqrt40

六邊形面積:
(sqrt3/4)(a^2)+(sqrt3/2)(ab) + 60 + (sqrt3/4)(ab)
=(sqrt3)a^2 + 60
=60 + 40sqrt3

6. a+e>11...(1)
b+c>11...(2)
c+d>11...(3)
a+c<=11...(4)
a+b+c+d+e=26
(1)+(2)==>d<4, 10=>c>7
(1)+(3)==>b<4, c>7
c>7 + (4)==> a<4
(1), (4)==> e>c>7
由a+c<11得c<=10,即b,d >1
有:1<b,d<4。
若(b,d)=(2,2), 則c>=10, e>=11。
因c<=10,即c=10, a=1
a+b+c+d+e=26
1+2+2+10+e=26
e=11
有解(1,2,2,10,11)
若(b,d)=(2,3), 則c>=10,e>=11
因c<=10, 即c=10, a=1
a+b+c+d+e=26
1+2+2+10+e=26
e=10(rejected)
(b,d)=(3,2)情況同上
若(b,d)=(3,3),則c>=9,e>=10
因c<=9, c=9 或10
若c=10
a+b+c+d+e=26
1+3+3+10+e=26
e=9(rejected)
若c=9
a=1 或2
若a=1
a+b+c+d+e=26
1+3+3+9+e=26
e=10
有解(1,3,3,9,10)
若a=2
a+b+c+d+e=26
2+3+3+9+e=26
e=9(rejected)
故答案為(1,2,2,10,11),(1,3,3,9,10)

5.這種情況的出現只有在分針和時針重疊的情況時,
在a時的時候,時針與分針的角度為30a,分針移動的速度為6b,而時針移動的速度為b/2
即經過30a/(6b-b/2) = 60a/11 分時針和分針重疊。即0時到12時中重疊了10次。
故答案為10



2.不管拿出哪2張
投票紙,一定會發現其中1個人的名字是相同的,可推得所有選票都有一個共同的名字(這是某年的imo題)
即4^2-4+2=16人

7.19500=350*55+250
由於350*4=1400
[55/4]=13
餘下:3*350+250=1250
故答案為14

8.
不失一般性,設a<b<c
abc=360
a<360的三次方根
a<=7

a=1,2,3,4,5,6(7 rejected因為7不能整除360)

經試驗有下列解:
(a,b,c)=(1,15,24),(1,18,20),(2,9,20),(2,10,18),(2,12,15),(3,5,24),(3,6,20),(3,8,15),(3,10,12),(4,5,18),(4,6,15),(4,9,10),(5,6,12),(5,8,9)

只有當a+b+c=23,25,29時,a,b,c才有兩組解
故答案為23,25,29

----
訪客
 

Herbie 於 星期一 四月 28, 2003 1:03 pm


go go go
流星~~流星~~雖然倏的而逝,但是他發出的光芒可是閃閃耀人、令人驚嘆!

IChO要再2005年時在台灣舉行喔

我們台灣奧運加油!

Herbie

 
文章: 841
註冊時間: 2003-01-16
來自: 港都-打狗

Raceleader 於 星期四 五月 08, 2003 3:44 pm


暱稱:Raceleader


【問題1】
咦,這不是我日前想破的題目?
這是第二個方法,理應接受此解
小心,今次我沒有標點E在對角線的交點,反而是自行作出的。

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
點E在四邊形ABCD外,使AE=AD,BE=BD。連AE,BE及CE。

AB=AB (公共邊)
BE=BD (已知)
EA=DA (已知)
∴△ABE≡△ABD (SSS)
∴∠ABE=∠ABD=12° (全等三角形的對應角)
∴∠BEA=∠BDA (全等三角形的對應角)

∠EBC=∠EBA+∠ABD+∠DBC=12°+12°+36°=60°
BE=BD (已知)
∠BCD=∠BCA+∠ACD=48°+24°=72°
∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD (三角形內角和)
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°
∴∠BDC=∠BCD=72°
∴BC=BD (等角對邊相等)
∴BC=BE
∴∠BCE=∠BEC (等腰三角形底角)
∠BCE+∠BEC=180°-∠EBC (三角形內角和)
2∠BEC=180°-60°=120°
∴∠BCE=∠CEB=∠EBC=60°
∴△BCE是一等邊三角形
∴BC=CE=EB (等邊三角形性質)

∠ABC=∠ABD+∠DBC=12°+36°=48°
∴∠ABC=∠ACB=48°
∴AB=AC (等角對邊相等)
BE=CE (等邊三角形性質)
EA=EA (公共邊)
∴△ABE≡△ACE (SSS)
∴∠BEA=∠CEA (全等三角形的對應角)

∠BEA+∠CEA=∠CEB=60°
2∠BEA=60°
∠BEA=30°
∵△ABE≡△ABD (已證)
∴∠ADB=∠AEB=30°


【問題2】
猜的...14

【問題3】
利用餘弦定理去解邊長
六邊形面積 = 120cm2


【問題4】
排位置時都不讓丈夫與別國的妻子為鄰,或是讓自己的妻子坐在其他國家的男性身旁。
由此可得出兩種主要坐法方案。

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

第一種方案是把丈夫及妻子分開兩邊坐,相鄰的是夫妻。
第二種方案是夫妻妻夫夫妻妻夫坐。

第一種方案:
先考慮丈夫坐法,因為有4個位,分別坐上4人,因此排列=4!=24種
在每種排列中,與丈夫相鄰的妻子位置已被確定,故只剩下考慮中間兩名妻子的坐法
因為中間兩名妻子位置可互換,所以在每種固定的丈夫排列中,便有兩種不同的妻子排列
因此總組合=2*4!=48種

第二種方案:
如果丈夫位置已被確定,那麼妻子的位置也一一對應。因此只需考慮丈夫位置排列。
考慮丈夫坐法,因為有4個位,分別坐上4人,因此排列=4!=24種
但是,在那24種坐法中,任選一種,必存在一種方法跟原來的成旋轉對稱
例如ABCD - CDAB是旋轉對稱
因此有一半組合重複
所以總組合=4!/2=12種

總和=48+12=60種


【問題5】
既無法區別長針和短針,不如設長短針長度一樣。
大部分時候長短針的位置配合只有唯一的時間可解,但有時是有兩個可能解,便是長短針位置互換,而又能表達正確時間。
因此,此題要我們考慮從正午到凌晨0點的12小時之內,有多少時間組是長短針位置互換。

在一個12小時制內,時間表達成x小時y分,0≦x≦11,0≦y<60,x是正整數,y是正實數。
時針形成的角=30°x+(y/60)30°=(1/2)(60x+y)°
分針形成的角=(y/60)360°=6y°

如果又有一個時間,m小時n分,使此兩個時間長短針位置互換。0≦m≦11,0≦n<60,m是正整數,n是正實數。
時針形成的角=30°m+(n/60)30°=(1/2)(60m+n)°
分針形成的角=(n/60)360°=6n°

因為長短針位置互換,因此:
x小時y分,時針形成的角 = m小時n分,分針形成的角
m小時n分,時針形成的角 = x小時y分,分針形成的角

(1/2)(60x+y)°=6n° ---(1)
(1/2)(60m+n)°=6y° ---(2)

(1)+(2):
(1/2)(60x+y+60m+n)°=6(n+y)°
60(x+m)=11(n+y)
n+y=(60/11)(x+m)
因為0≦x,m≦11,所以0≦x+m≦22
設k=x+m,則
n+y=60k/11
6n=(360k/11)-6y ---(3)

代(3)入(1):
(1/2)(60x+y)=(360k/11)-6y
60x+y=(720k/11)-12y
13y=(720k/11)-60x
y=(1/13)[(720k/11)-60x]
y=(1/143)(720k-660x)

因為0≦y<60,所以
0≦(1/143)(720k-660x)<60

0≦(1/143)(720k-660x)
0≦12k-11x
11x/12≦k

(1/143)(720k-660x)<60
(1/143)(12k-11x)<1
12k-11x<143
k<(143/12)+(11x/12)

所以11x/12≦k<(143/12)+(11x/12) ---(*)

因為k=x+m,0≦x+m≦22
利用(*):
x=0,0≦k<143/12,k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
x=1,11/12≦k<77/6,k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
x=2,11/6≦k<55/4,k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13
x=3,11/4≦k<44/3,k=3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14
x=4,11/3≦k<187/12,k=4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15
x=5,55/12≦k<33/2,k=5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16
x=6,11/2≦k<209/12,k=6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17
x=7,77/12≦k<55/3,k=7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18
x=8,22/3≦k<77/4,k=8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19
x=9,33/4≦k<121/6,k=9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20
x=10,55/6≦k<253/12,k=10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21
x=11,121/12≦k<22,k=11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21

除了x=11,當x是其他正整數時,都有12個相對的k值,即是有12個相對的m值,即是有12個互換的時間
即是共有11*12+11=143個時間適合

可是,其中有些時間是重複了,如果重複,即是時針分針重疊,也變成了唯一解,可被人計算出來
當(x,k)=(0,0),(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,10),(6,12),(7,14),(8,16),(9,18)及(10,20)
因為k=x+m,所以
(x,m)=(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),(9,9),(10,10)

在同一小時內,是不可能長短針互換的,因此上述10個時間均被取消
因此長短針位置互換而不被察覺實際共有143-11=132個時間




【問題6】
設A,B,C,D,E分別為a,b,c,d,e中,5個袋子裡面的彈珠數目。
因此,A,B,C,D,E皆為正整數。

因為26顆玻璃彈珠分裝在a,b,c,d,e等5個袋子裡面,每個袋子裡面的彈珠數量都不同,而且都在1個以上。
所以1<A,B,C,D,E,A+B+C+D+E=26,及A,B,C,D,E互不相等

因為只要袋子內的彈珠超過11個,秤量的磅秤就會嗶嗶叫
a和e或b和c或c和d放在一起秤會嗶嗶叫,但a和c放在一起秤的話就不會嗶嗶叫。

所以:
A+E≧12 ---(1)
B+C≧12 ---(2)
C+D≧12 ---(3)
A+C≦11 ---(4)

(1)+(2):
A+B+C+E≧12+12=24 → A+B+C+E=24,25或26
但是A+B+C+D+E=26
所以D=0,1或2
但是每個袋子數量都在1個以上,因此D>1,所以D=2

(1)+(3):
A+C+D+E≧12+12=24 → A+C+D+E=24,25或26
但是A+B+C+D+E=26
所以B=0,1或2
但是每個袋子數量都在1個以上,因此B>1,所以B=2

因此B=D=2,但是跟每個袋子裡面的彈珠數量都不同矛盾,所以無解




以下的是附註,是考慮如改變題要的可能解:
如果1≦A,B,C,D,E,利用上面的結果,B,D=1或2

如果B=1,D=2,根據(2):
1+C≧12,C≧11

但是,根據(4):
A+C≦11
因為A≧1,所以C<11
這跟C≧11矛盾,所以無解

如果B=2,D=1,根據(3):
1+C≧12,C≧11

但是,根據(4):
A+C≦11
因為A≧1,所以C<11
這跟C≧11矛盾,所以無解

因此當B=1,D=2或B=2,D=1時,無解
所以1≦A,B,C,D,E時也是無解


如果袋子內的彈珠不少於11個,秤量的磅秤就會嗶嗶叫
換言之,磅秤最多只能容載10個彈珠。
而條件仍然是每個袋子數量都在1個以上
那麼1<A,B,C,D,E,A+B+C+D+E=26,及A,B,C,D,E互不相等

因為只要袋子內的彈珠不少於11個,秤量的磅秤就會嗶嗶叫
a和e或b和c或c和d放在一起秤會嗶嗶叫,但a和c放在一起秤的話就不會嗶嗶叫。

所以:
A+E≧11 ---(1)
B+C≧11 ---(2)
C+D≧11 ---(3)
A+C≦10 ---(4)

(1)+(2):
A+B+C+E≧11+11=22 → A+B+C+E=22,23,24,25或26
但是A+B+C+D+E=26
所以D=0,1,2,3或4
但是每個袋子數量都在1個以上,因此D>1,所以D=2,3或4

(1)+(3):
A+C+D+E≧12+12=24 → A+C+D+E=22,23,24,25或26
但是A+B+C+D+E=26
所以B=0,1,2,3或4
但是每個袋子數量都在1個以上,因此B>1,所以B=2,3或4

設B<D:

如果B=2,D=3
那麼根據(2):C≧9
但是A+C≦10,因此A≦1,這跟A>1矛盾,所以無解

如果B=2,D=4
那麼根據(2):C≧9
但是A+C≦10,因此A≦1,這跟A>1矛盾,所以無解

如果B=3,D=4
那麼根據(2):C≧8
但是A+C≦10,因此A≦2,又因為A>1,所以A=2
因為A+E≧11,所以E≧9

A+B+C+D+E≧2+3+8+4+9=26
所以只有唯一解 → (A,B,D,C,E)=(2,3,4,8,9)記得要順序



如果袋子內的彈珠不少於11個,秤量的磅秤就會嗶嗶叫
換言之,磅秤最多只能容載10個彈珠。
而條件是每個袋子數量都在1個或以上
那麼1≦A,B,C,D,E,A+B+C+D+E=26,及A,B,C,D,E互不相等

因為只要袋子內的彈珠不少於11個,秤量的磅秤就會嗶嗶叫
a和e或b和c或c和d放在一起秤會嗶嗶叫,但a和c放在一起秤的話就不會嗶嗶叫。

所以:
A+E≧11 ---(1)
B+C≧11 ---(2)
C+D≧11 ---(3)
A+C≦10 ---(4)

(1)+(2):
A+B+C+E≧11+11=22 → A+B+C+E=22,23,24,25或26
但是A+B+C+D+E=26
所以D=0,1,2,3或4
但是每個袋子數量都在1個或以上,因此D≧1,所以D=1,2,3或4

(1)+(3):
A+C+D+E≧12+12=24 → A+C+D+E=22,23,24,25或26
但是A+B+C+D+E=26
所以B=0,1,2,3或4
但是每個袋子數量都在1個或以上,因此D≧1,所以B=1,2,3或4

設B<D:

如果B=1,D=2
那麼根據(2):C≧10
但是A+C≦10,因此C=10,A=0,這跟A≧1矛盾,所以無解

如果B=1,D=3
那麼根據(2):C≧10
但是A+C≦10,因此C=10,A=0,這跟A≧1矛盾,所以無解

如果B=1,D=4
那麼根據(2):C≧10
但是A+C≦10,因此C=10,A=0,這跟A≧1矛盾,所以無解

如果B=2,D=3
那麼根據(2):C≧9
但是A+C≦10,因此C=9,A=1,
A+B+C+D+E=26
1+2+9+3+E=26
E=11
因為題目沒有指明每袋的數目能否令磅秤嗶嗶叫
所以(A,B,D,C,E)=(1,2,3,9,11)記得要順序

如果B=2,D=4
那麼根據(2):C≧9
但是A+C≦10,因此C=9,A=1,
A+B+C+D+E=26
1+2+9+4+E=26
E=10
因為題目沒有指明每袋的數目能否令磅秤嗶嗶叫
所以(A,B,D,C,E)=(1,2,4,9,10)記得要順序

如果B=3,D=4
那麼根據(2):C≧8
但是A+C≦10,因此C=8,A=1,或C=8,A=2,或C=9,A=1

如果(A,B,C,D)=(1,3,8,4)
A+B+C+D+E=26
1+3+8+4+E=26
E=10
因為題目沒有指明每袋的數目能否令磅秤嗶嗶叫
所以(A,B,D,C,E)=(1,3,4,8,10)記得要順序

如果(A,B,C,D)=(2,3,8,4)
A+B+C+D+E=26
2+3+8+4+E=26
E=9
因為題目沒有指明每袋的數目能否令磅秤嗶嗶叫
所以(A,B,D,C,E)=(2,3,4,8,9)記得要順序

如果(A,B,C,D)=(1,3,9,4)
A+B+C+D+E=26
1+3+9+4+E=26
E=9
跟C重複,所以無解





【問題7】
設每件貨物重量分別為w1,w2,w3,...,wn
且0<w1,w2,w3,...,wn≦350
及w1+w2+w3+...+wn=19500

w1+w2+w3+...+wn=19500
∴350+350+350+...+350≧19500
∴350n≧19500=(350)(55)+250
∴n≧56

因為(350)(4)=1400kg
所以每輛卡車最少可載4件貨物

我們以每車載最少貨計算,每輛卡車平均分4件貨物
當5件貨物時,平均=1500/5=300kg
因此要保證每車只有4件貨物,即是載量應該≧1500-300=1200kg

因此1200kg≦每車載量≦1500kg
19500/1200=16.25

所以最少要17輛卡車,才能把任何情況的貨物運送



【問題8】
因為班號依序越來越大,即是1≦p<q<r≦29,且pqr=360
那麼360=pqr>p3
即是p<3601/3≒7.1138,換言之p≦7

因為p是360的因數,所以p=1,2,3,4,5或6

如果p=1:
(p,q,r)=(1,15,24)或(1,18,20)

如果p=2:
(p,q,r)=(2,9,20),(2,10,18)或(2,12,15)

如果p=3:
(p,q,r)=(3,5,24),(3,6,20),(3,8,15)或(3,10,12)

如果p=4:
(p,q,r)=(4,5,18),(4,6,15)或(4,9,10)

如果p=5:
(p,q,r)=(5,6,12)或(5,8,9)

如果p=6,那麼(p,q,r)則無解

設F(p,q,r)=p+q+r
F(1,15,24)=40
F(1,18,20)=39
F(2,9,20)=31
F(2,10,18)=30
F(2,12,15)=29
F(3,5,24)=32
F(3,6,20)=29
F(3,8,15)=26
F(3,10,12)=25
F(4,5,18)=27
F(4,6,15)=25
F(4,9,10)=23
F(5,6,12)=23
F(5,8,9)=22

如果再知道3個人座號的和,便可知道3人分別的座號
以上的和中,只有23、25和29有兩種可能性,其它組合的和是唯一
如果得悉是其它唯一和的組合的話,那麼馬上便能得知(p,q,r)的實值

在不唯一的解中:
F(4,9,10)=F(5,6,12)=23
F(3,10,12)=F(4,6,15)=25
F(2,12,15)=F(3,6,20)=29

留意23的兩組可能性,6個數字都相異,此情況亦出現於25及29的可能解上
假設F(a,b,c)=F(d,e,f),且a,b,c,d,e,f兩兩相異
如果王同學的座號不在這6個數字中,那麼他仍無法判斷出哪組才是解
因此,王同學的座號理應在這6個數字中的其中一個

23: F(4,9,10),F(5,6,12)中,出現了(4,5,6,9,10,12)
25: F(3,10,12),F(4,6,15)中,出現了(3,4,6,10,12,15)
29: F(2,12,15),F(3,6,20)中,出現了(2,3,6,12,15,20)

在(4,5,6,9,10,12),(3,4,6,10,12,15)及(2,3,6,12,15,20)中
皆出現了6和12

再比較其他唯一和的解中,均無出現6和12
王同學的座號只有6或12,他才有信心找出三人的座號
所以王同學的座號=6或12

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 五月 27, 2003 9:30 am


【問題1】
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
點E在四邊形ABCD外,使AE=AD,BE=BD。連AE,BE及CE。

AB=AB (公共邊)
BE=BD (已知)
EA=DA (已知)
∴△ABE≡△ABD (SSS)
∴∠ABE=∠ABD=12° (全等三角形的對應角)
∴∠BEA=∠BDA (全等三角形的對應角)

∠EBC=∠EBA+∠ABD+∠DBC=12°+12°+36°=60°
BE=BD (已知)
∠BCD=∠BCA+∠ACD=48°+24°=72°
∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD (三角形內角和)
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°
∴∠BDC=∠BCD=72°
∴BC=BD (等角對邊相等)
∴BC=BE
∴∠BCE=∠BEC (等腰三角形底角)
∠BCE+∠BEC=180°-∠EBC (三角形內角和)
2∠BEC=180°-60°=120°
∴∠BCE=∠CEB=∠EBC=60°
∴△BCE是一等邊三角形
∴BC=CE=EB (等邊三角形性質)

∠ABC=∠ABD+∠DBC=12°+36°=48°
∴∠ABC=∠ACB=48°
∴AB=AC (等角對邊相等)
BE=CE (等邊三角形性質)
EA=EA (公共邊)
∴△ABE≡△ACE (SSS)
∴∠BEA=∠CEA (全等三角形的對應角)

∠BEA+∠CEA=∠CEB=60°
2∠BEA=60°
∠BEA=30°
∵△ABE≡△ABD (已證)
∴∠ADB=∠AEB=30°

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 五月 27, 2003 6:13 pm


Q2...only know the answer is 13

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 五月 27, 2003 6:15 pm


【問題3】

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

點G在六邊形外,使BG=DE,CG=CE,連BG,CG,FG。

BG=DE (已知)
GC=EC (已知)
CB=CD (已知)
∴△BGC≡△DEC (SSS)
∴∠GCB=∠ECD (全等三角形的對應角)
∴∠CBG=∠CDE=120° (全等三角形的對應角)
∴△BGC的面積=△DEC的面積

∠HBG=360°-∠CBG-∠ABC (同頂角)
∠HBG=360°-120°-120°=120°
∴∠HBG=∠HAF=120°
∴BG//AF (錯角相等)
∵DE=AF (已知)
∴BG=AF
∠BGH=∠AFH (錯角,BG//AF)
∴△BGH≡△AFH (ASA)
∴△BGH的面積=△AFH的面積

FC=FC (公共邊)
∠FCB+∠ECD=∠BCD-∠FCE
∴∠FCB+∠ECD=120°-60°=60°
∴∠FCB+∠BCG=60°
∴∠FCG=∠FCD=60°
CG=CE (已知)
∴△FCG≡△FCE (SAS)
∴△FCG的面積=△FCE的面積=60cm2

四邊形FABC的面積+△DEC的面積
=△AFH的面積+四邊形FHBC的面積+△DEC的面積
=△BGH的面積+四邊形FHBC的面積+△BGC的面積
=△FGC的面積
=60cm2

∴六邊形ABCDEF的面積
=四邊形FABC的面積+△DEC的面積+△FCE的面積
=60cm2+60cm2
=120cm2

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 五月 27, 2003 6:17 pm


【問題4】
排位置時都不讓丈夫與別國的妻子為鄰,或是讓自己的妻子坐在其他國家的男性身旁。
由此可得出兩種主要坐法方案。

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

第一種方案是把丈夫及妻子分開兩邊坐,相鄰的是夫妻。
第二種方案是夫妻妻夫夫妻妻夫坐。

第一種方案:
先考慮丈夫坐法,因為有4個位,分別坐上4人,因此排列=4!=24種
在每種排列中,與丈夫相鄰的妻子位置已被確定,故只剩下考慮中間兩名妻子的坐法
因為中間兩名妻子位置可互換,所以在每種固定的丈夫排列中,便有兩種不同的妻子排列
因此總組合=2*4!=48種

第二種方案:
如果丈夫位置已被確定,那麼妻子的位置也一一對應。因此只需考慮丈夫位置排列。
考慮丈夫坐法,因為有4個位,分別坐上4人,因此排列=4!=24種
但是,在那24種坐法中,任選一種,必存在一種方法跟原來的成旋轉對稱
例如ABCD - CDAB是旋轉對稱
因此有一半組合重複
所以總組合=4!/2=12種

總和=48+12=60種

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 五月 27, 2003 6:18 pm


【問題5】
既無法區別長針和短針,不如設長短針長度一樣。
大部分時候長短針的位置配合只有唯一的時間可解,但有時是有兩個可能解,便是長短針位置互換,而又能表達正確時間。
因此,此題要我們考慮從正午到凌晨0點的12小時之內,有多少時間組是長短針位置互換。

在一個12小時制內,時間表達成x小時y分,0≦x≦11,0≦y<60,x是正整數,y是正實數。
時針形成的角=30°x+(y/60)30°=(1/2)(60x+y)°
分針形成的角=(y/60)360°=6y°

如果又有一個時間,m小時n分,使此兩個時間長短針位置互換。0≦m≦11,0≦n<60,m是正整數,n是正實數。
時針形成的角=30°m+(n/60)30°=(1/2)(60m+n)°
分針形成的角=(n/60)360°=6n°

因為長短針位置互換,因此:
x小時y分,時針形成的角 = m小時n分,分針形成的角
m小時n分,時針形成的角 = x小時y分,分針形成的角

(1/2)(60x+y)°=6n° ---(1)
(1/2)(60m+n)°=6y° ---(2)

(1)+(2):
(1/2)(60x+y+60m+n)°=6(n+y)°
60(x+m)=11(n+y)
n+y=(60/11)(x+m)
因為0≦x,m≦11,所以0≦x+m≦22
設k=x+m,則
n+y=60k/11
6n=(360k/11)-6y ---(3)

代(3)入(1):
(1/2)(60x+y)=(360k/11)-6y
60x+y=(720k/11)-12y
13y=(720k/11)-60x
y=(1/13)[(720k/11)-60x]
y=(1/143)(720k-660x)

因為0≦y<60,所以
0≦(1/143)(720k-660x)<60

0≦(1/143)(720k-660x)
0≦12k-11x
11x/12≦k

(1/143)(720k-660x)<60
(1/143)(12k-11x)<1
12k-11x<143
k<(143/12)+(11x/12)

所以11x/12≦k<(143/12)+(11x/12) ---(*)

因為k=x+m,0≦x+m≦22
利用(*):
x=0,0≦k<143/12,k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
x=1,11/12≦k<77/6,k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
x=2,11/6≦k<55/4,k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13
x=3,11/4≦k<44/3,k=3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14
x=4,11/3≦k<187/12,k=4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15
x=5,55/12≦k<33/2,k=5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16
x=6,11/2≦k<209/12,k=6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17
x=7,77/12≦k<55/3,k=7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18
x=8,22/3≦k<77/4,k=8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19
x=9,33/4≦k<121/6,k=9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20
x=10,55/6≦k<253/12,k=10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21
x=11,121/12≦k<22,k=11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21

除了x=11,當x是其他正整數時,都有12個相對的k值,即是有12個相對的m值,即是有12個互換的時間
即是共有11*12+11=143個時間適合

可是,其中有些時間是重複了,如果重複,即是時針分針重疊,也變成了唯一解,可被人計算出來
當(x,k)=(0,0),(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,10),(6,12),(7,14),(8,16),(9,18)及(10,20)
因為k=x+m,所以
(x,m)=(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),(9,9),(10,10)

在同一小時內,是不可能長短針互換的,因此上述10個時間均被取消
因此長短針位置互換而不被察覺實際共有143-11=132個時間

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 五月 27, 2003 6:19 pm


【問題6】
設A,B,C,D,E分別為a,b,c,d,e中,5個袋子裡面的彈珠數目。
因此,A,B,C,D,E皆為正整數。

因為26顆玻璃彈珠分裝在a,b,c,d,e等5個袋子裡面,每個袋子裡面的彈珠數量都不同,而且都在1個以上。
所以1<A,B,C,D,E,A+B+C+D+E=26,及A,B,C,D,E互不相等

因為只要袋子內的彈珠超過11個,秤量的磅秤就會嗶嗶叫
a和e或b和c或c和d放在一起秤會嗶嗶叫,但a和c放在一起秤的話就不會嗶嗶叫。

所以:
A+E≧12 ---(1)
B+C≧12 ---(2)
C+D≧12 ---(3)
A+C≦11 ---(4)

(1)+(2):
A+B+C+E≧12+12=24 → A+B+C+E=24,25或26
但是A+B+C+D+E=26
所以D=0,1或2
但是每個袋子數量都在1個以上,因此D>1,所以D=2

(1)+(3):
A+C+D+E≧12+12=24 → A+C+D+E=24,25或26
但是A+B+C+D+E=26
所以B=0,1或2
但是每個袋子數量都在1個以上,因此B>1,所以B=2

因此B=D=2,但是跟每個袋子裡面的彈珠數量都不同矛盾,所以無解

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 五月 27, 2003 6:19 pm


Q7...do not ensure the answer

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期二 五月 27, 2003 6:20 pm


【問題8】
因為班號依序越來越大,即是1≦p<q<r≦29,且pqr=360
那麼360=pqr>p3
即是p<3601/3≒7.1138,換言之p≦7

因為p是360的因數,所以p=1,2,3,4,5或6

如果p=1:
(p,q,r)=(1,15,24)或(1,18,20)

如果p=2:
(p,q,r)=(2,9,20),(2,10,18)或(2,12,15)

如果p=3:
(p,q,r)=(3,5,24),(3,6,20),(3,8,15)或(3,10,12)

如果p=4:
(p,q,r)=(4,5,18),(4,6,15)或(4,9,10)

如果p=5:
(p,q,r)=(5,6,12)或(5,8,9)

如果p=6,那麼(p,q,r)則無解

設F(p,q,r)=p+q+r
F(1,15,24)=40
F(1,18,20)=39
F(2,9,20)=31
F(2,10,18)=30
F(2,12,15)=29
F(3,5,24)=32
F(3,6,20)=29
F(3,8,15)=26
F(3,10,12)=25
F(4,5,18)=27
F(4,6,15)=25
F(4,9,10)=23
F(5,6,12)=23
F(5,8,9)=22

如果再知道3個人座號的和,便可知道3人分別的座號
以上的和中,只有23、25和29有兩種可能性,其它組合的和是唯一
如果得悉是其它唯一和的組合的話,那麼馬上便能得知(p,q,r)的實值

在不唯一的解中:
F(4,9,10)=F(5,6,12)=23
F(3,10,12)=F(4,6,15)=25
F(2,12,15)=F(3,6,20)=29

留意23的兩組可能性,6個數字都相異,此情況亦出現於25及29的可能解上
假設F(a,b,c)=F(d,e,f),且a,b,c,d,e,f兩兩相異
如果王同學的座號不在這6個數字中,那麼他仍無法判斷出哪組才是解
因此,王同學的座號理應在這6個數字中的其中一個

23: F(4,9,10),F(5,6,12)中,出現了(4,5,6,9,10,12)
25: F(3,10,12),F(4,6,15)中,出現了(3,4,6,10,12,15)
29: F(2,12,15),F(3,6,20)中,出現了(2,3,6,12,15,20)

在(4,5,6,9,10,12),(3,4,6,10,12,15)及(2,3,6,12,15,20)中
皆出現了6和12

再比較其他唯一和的解中,均無出現6和12
王同學的座號只有6或12,他才有信心找出三人的座號
所以王同學的座號=6或12

Raceleader
訪客
 

--- 於 星期六 五月 31, 2003 12:35 pm


【問題7】有許多貨物,總重量是19500kg。雖然不知道各項貨物的重量,但
知道沒有任何1件貨物比350kg重。現在有幾輛最多能夠載1500kg
貨物的卡車,想用這幾輛卡車將貨物運完。
不管每一件貨物的重量各是多少,若要一次將所有的貨物運完,
至少需要幾輛卡車(不需考慮貨物的容積)

19500=p1+p2+...+pn = 350*55+250
every pi<=350
n>=56

350*4=1400
1500/5=300
1500-300=1200 <pm1+pm2+...<=1500

19500/1200=16.25

we send 16 cars first.
consider the rest weight: < 0.25*1200=300
then the rest weight can be filled in the residual space of one of the 16 cars.
so, 16 cars are enough.

Ans: 16 cars

---
訪客
 

--- 於 星期二 六月 03, 2003 6:49 pm


問題2】平太同學的班級要選出4個幹部。每個人都拿出一張投票用紙,
寫下包括自己在內的全班同學中的4個人。
平太將投票用紙收齊之後,發現一件有趣的事;不管拿出哪2張
投票紙,一定會發現其中1個人的名字是相同的。請問這個班上
有幾個人?
必須注意:1張投票紙之不可以寫2個相同的名字。

1234
1567
189a
1bcd
258b
269c
27ad
35ac
368d
379b
459d
46ab
478c

==> 13 students.

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訪客
 






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