[數學]代數題2

[數學]代數題2

kai 於 星期二 四月 25, 2006 7:02 pm


a*cosx+b*sinx=c
a*cosy+b*siny=c  (abc≠0  x-y/2≠kπ)
prove that
a/cos(x+y/2)=b/sin(x+y/2)=c/cos(x-y/2)

kai
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p 於 星期四 四月 27, 2006 10:17 pm


答案似乎不對.

a*cosx+b*sinx=c
a*cosy+b*siny=c

兩式相加
a*(cosx+cosy)+b*(sinx+siny)=2c

和差化積
a*2*cos[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]+b*2*sin[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]=2c

a*cos[(x+y)/2] +b*sin[(x+y)/2]=c/cos[(x-y)/2]

p
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p 於 星期四 四月 27, 2006 10:44 pm


a*cos[(x+y)/2] +b*sin[(x+y)/2]=c/cos[(x-y)/2]---------(1)

a*cosx+b*sinx=c
a*cosy+b*siny=c

兩式相減
a*(cosx-cosy)+b*(sinx-siny)=0

和差化積
-a*2*sin[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]+b*2*cos[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]=0
a*sin[(x+y)/2] =b*cos[(x+y)/2]
a =b*cos[(x+y)/2]/ sin[(x+y)/2]  b=a*sin[(x+y)/2]/cos[(x+y)/2] 代入(1)

b*cos^2 [(x+y)/2]/sin[(x+y)/2] +a*sin^2 [(x+y)/2]/cos[(x+y)/2]=c/cos[(x-y)/2]-----(2)

(1)+(2)
a*sin^2 [(x+y)/2]/ cos[(x+y)/2]+ a*cos[(x+y)/2]+
b*cos^2 [(x+y)/2]/ sin[(x+y)/2]+ b*sin[(x+y)/2]=
2c/cos[(x-y)/2]

a*sin^2 [(x+y)/2]/ cos[(x+y)/2]+ a*cos^2 [(x+y)/2] / cos[(x+y)/2]+
b*cos^2 [(x+y)/2]/ sin[(x+y)/2]+ b*sin^2 [(x+y)/2] / sin[(x+y)/2]=
2c/cos[(x-y)/2]


a/cos[(x+y)/2]+ b/sin[(x+y)/2]=2c/cos[(x-y)/2]
答案仍然不對.

p
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kai 於 星期五 四月 28, 2006 6:33 pm


是三個相等耶

kai
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p 於 星期五 四月 28, 2006 8:57 pm


喔, 是我看錯了題目嗎? 該換眼鏡了.

a*sin[(x+y)/2] =b*cos[(x+y)/2]
a/cos[(x+y)/2] =b/sin[(x+y)/2]
a/cos[(x+y)/2]+ b/sin[(x+y)/2]=2c/cos[(x-y)/2]
2a/cos[(x+y)/2] =2c/cos[(x-y)/2]

a/cos[(x+y)/2] =b/sin[(x+y)/2]=c/cos[(x-y)/2]

p
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kai 於 星期五 四月 28, 2006 9:04 pm


直線ax+by=c
(cosx,sinx)  (cosy,siny)在上面
故又可寫成y-sinx/x-cosx=siny-sinx/cosy-cosx
即cos(x+y/2)x+sin(x+y/2)y=cos(x-y/2)
得證

kai
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p 於 星期五 四月 28, 2006 9:12 pm


喔,  妙!

p
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p 於 星期五 四月 28, 2006 9:31 pm


kai 寫到:
直線ax+by=c
(cosx,sinx)  (cosy,siny)在上面
故又可寫成y-sinx/x-cosx=siny-sinx/cosy-cosx
即cos(x+y/2)x+sin(x+y/2)y=cos(x-y/2)
得證



y-sinx/x-cosx=siny-sinx/cosy-cosx ------(1)
cos(x+y/2)x+sin(x+y/2)y=cos(x-y/2) ---(2)

喔, 妙寫得太早.
看不懂為什麼(1)成立後, 可以得到(2)
也看不懂為什麼(2)成立後,即得證.

p
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kai 於 星期五 四月 28, 2006 9:37 pm


1. siny-sinx/cosy-cosx =-cos(x+y/2)/sin(x+y/2)
cosx+cos(x+y/2)+sinxsin(x+y/2)=cos(x-y/2)
2. 因為兩個代表同一個直線

kai
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p 於 星期五 四月 28, 2006 9:44 pm


siny-sinx/cosy-cosx =-cos(x+y/2)/sin(x+y/2)
上式是和差化積 看得懂
所以
y-sinx/x-cosx==-cos(x+y/2)/sin(x+y/2)
如何得到
cosx+cos(x+y/2)+sinxsin(x+y/2)=cos(x-y/2)

p
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p 於 星期五 四月 28, 2006 9:49 pm


問題2

為什麼直線ax+by=c與cos(x+y/2)x+sin(x+y/2)y=cos(x-y/2)
代表同一個直線?

p
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kai 於 星期五 四月 28, 2006 10:03 pm


1. cos間多打一個加號
2.  過同樣兩點

kai
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p 於 星期五 四月 28, 2006 10:09 pm


y-sinx/x-cosx==-cos(x+y/2)/sin(x+y/2)
也看不出如何得到
cosxcos(x+y/2)+sinxsin(x+y/2)=cos(x-y/2)
如何再由此式得到
cos(x+y/2)x+sin(x+y/2)y=cos(x-y/2)

p
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