[問題]線代問題...希望高手可以幫忙...謝謝...^^

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cloudsea 於 星期四 四月 20, 2006 12:05 pm


   1.  Let A = [0 a] , abc不等於0 . Find elementary matrices E1,E2,E3,E4 such that A=E4E3E2E1 
                      b c
      不知道從何做起?希望可以幫忙解惑一下...謝謝
                                                               2.    Let V be an m(m小於等於n) dimensionalsubspace of R^n , P為n*n 且為在V上的projection , that is, Px屬於V for any x屬於R^n and Pv=v for any v屬於V                                                                                          (i) Show that detP=0
(ii)Let Vm={v1,...,vm}form an orthonormal basis of V . Find a project P on V and represent P in a matrix form

第一小題我的想法是想用detp所有eigenvalue 相乘...但我的想法卡在rankP如果等於n , 那這樣kerP就等於{0} , 那就沒有eigenvalue 等於0 , 這樣就不知道怎麼證 ,不知道我的想法是不是有問題 ,希望高手可以幫忙解惑一下...謝謝
第二小題我的想法是先令 A = [ V1 V2 ..Vm ] , 接著再帶入 A[(A^H*A)^(-1)]A^H...去整理..但最後卻做到A*(A^H)...然後就不知道怎麼辦了...總覺得作法怪怪的..希望高手可以幫忙一下..謝謝
                                   

cloudsea
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亂解一通 於 星期四 四月 20, 2006 2:19 pm


1. 此題與eigenvalue , eigenvector的東西都沒有關係,
    單純運用任何一個非奇異矩陣皆可表達成為一連串elementory marix的乘積。
   蠻無聊的,所以就寫詳細一點:
Sol
   先將原矩陣做行變換或列變換,換成 I
   看的出來需要變換四次。
   以Row operator來看好了,
   第一次是1 2 互換   第二次是第一列除以b  第三次是第二列除以a
   第四次是第一列加上第二列乘以-c/b
   四次運算完後可以化為I
   假設 Hij表示ij列互換的基本矩陣,Hi(k)表示第i列乘以小k的基本矩陣
   Hij(k)表示第i列加上第j列的k倍的基本矩陣
   由定理可以知道
   H12(-c/b) H2(1/a) H1(1/b) H12 A =I
   然後因為H系列的矩陣都有逆矩陣,依次從左邊乘一乘就可以知道結果了
   至於三種H系列的逆陣都有特殊的形式,如Hij 的逆陣還是Hij
   Hi(k)的逆陣就是Hi(1/k)  k≠0 , Hij(k)的逆陣就是Hij(-k)
   所以A = H12H1(b)H2(a)H12(c/b)   可以驗證此式成立。
   對應上去就可以知道E4E3E2E1
   另外的解法是用行變換,假設以K表示,跟H的表示一樣,只不過改成行
   至於K的逆陣性質與H的無異!
   則會滿足AK(1) K(2)K(3)... = I
   其中括號裡面的數字表示第幾次的變換。(會與列變換的乘法剛好相反)
   更進一步的來說好了,假設某矩陣B經由兩次的列變換與兩次的行變換變成I
   H(2) H(1) B K(1) K(2) = I  其中K(i) 與 H(j)  裡面的 i,j表示是第幾次行(或列)變換 

亂解一通
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cloudsea 於 星期四 四月 20, 2006 6:30 pm


謝謝你的解惑.....寫得很詳細^^.......
我那題號有些問題...我說的第一小題是第二題的第一小題,不是第一題...哈...沒寫清楚造成誤會...抱歉..

cloudsea
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linch6123 於 星期六 四月 22, 2006 3:41 am


(1)如果m=n那V= R^n,則P=I 推得 detP=1

(2) 如果m<n
因為nullity P + rank p=n
所以nullity P=m-n>=1
所以detP=0

linch6123
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cloudsea 於 星期三 四月 26, 2006 12:05 am


原來不要把它想得太複雜...想太多就亂掉了...謝謝解惑^^

cloudsea
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