(a) rank(A)= n-1 if and only if rank(adjA)=1
Pf (a)
1.先證明 A,B為n階方陣 iff rank(AB) ≥ rank(A)+rank(B) - n
Note:事實上若 A 是 s by n ,B是 n by t也會成立。
2.由rank(A) = n-1 保證 det(A) = 0
故A(adjA) = det(A) I = 0
所以rank[A(adjA)] = 0
利用上面定理可以知道 0 ≥ n-1 + rank(adjA) -n <=> rank(adjA) ≤1 ..... (1)
3.又由於rank(A) =n-1 可以知道至少在Algebric Complementary Minors中有一個entry不為0
<=> rank(adjA) ≥ 1.....(2)
4. By (1),(2) 可以知道成立的條件僅在 rank(adjA) =1。 證畢!