[數學]斐馬最後定理全紀錄

[數學]斐馬最後定理全紀錄

J+W 於 星期六 三月 04, 2006 1:10 am


费玛最后定理:x^n+y^n=z^n 当 n>2 时,不存在整数解

1. 1963年 安德鲁•怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克•坦普尔•贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引,「最后问题 The Last Problem」,故事从这里开始。

2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理,任一个直角三角形,斜边的平方=另外两边的平方和
x^2+y^2=z^2
毕达哥拉斯三元组:毕氏定理的整数解

3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时,在页边写下了註记
「不可能将一个立方数写成两个立方数之和;或者将一个四次幂写成两个四次幂之和;或者,总的来说,不可能将一个高於2次幂,写成两个同样次幂的和。」
「对这个命题我有一个十分美妙的证明,这里空白太小,写不下。」

4. 1670年,费玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记的「丢番图的算数」

5. 在Fermat的其他註记中,隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解
莱昂哈德•欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解

3是质数,现在只要证明费玛最后定理对於所有的质数都成立
但 欧基里德 证明「存在无穷多个质数」

6. 1776年 索菲•热尔曼 针对 (2p+1)的质数,证明了 费玛最后定理 "大概" 无解

7. 1825年 古斯塔夫•勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃•勒让德 延伸热尔曼的证明,证明了 n=5 无解

8. 1839年 加布里尔•拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无解

9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀•路易斯•科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛最后定理
最后是刘维尔宣读了 恩斯特•库默尔 Ernst Kummer 的信,说科西与拉梅的证明,都因为「虚数没有唯一因子分解性质」而失败
库默尔证明了 费玛最后定理的完整证明 是当时数学方法不可能实现的

10.1908年 保罗•沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明
这表示 费玛最后定理的完整证明 尚未被解决
沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证明的人,期限是到2007年9月13日止

11.1900年8月8日 大卫•希尔伯特,提出数学上23个未解决的问题且相信这是迫切需要解决的重要问题

12.1931年 库特•哥德尔 不可判定性定理
第一不可判定性定理:如果公理集合论是相容的,那么存在既不能证明又不能否定的定理。
=> 完全性是不可能达到的
第二不可判定性定理:不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。
=> 相容性永远不可能证明

13.1963年 保罗•科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题是不是不可判定的方法(只适用少数情形)
证明希尔伯特23个问题中,其中一个「连续统假设」问题是不可判定的,这对於费玛最后定理来说是一大打击

14.1940年 阿伦•图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反转机
开始有人利用暴力解决方法,要对 费玛最后定理 的n值一个一个加以证明。

15.1988年 内奥姆•埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想,找到了一个反例
2682440^4+15365639^4+187960^4=20615673^4

16.1975年 安德鲁•怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰•科次,研究椭圆曲线
研究椭圆曲线的目的是要算出他们的整数解,这跟费玛最后定理一样
ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2
(费玛证明宇宙中指存在一个数26,他是夹在一个平方数与一个立方数中间)

由於要直接找出椭圆曲线是很困难的,为了简化问题,数学家採用「时鐘运算」方法
在五格时鐘运算中, 4+2=1
椭圆方程式 x3-x2=y2+y
所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4),然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中,有四个解
对於椭圆曲线,可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, .....

17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常的对称性的 modular form 模型式
模型式的要素可从1开始标号到无穷(M1, M2, M3, ...)
每个模型式的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例

1955年9月 提出模型式的 M序列 可以对应到椭圆曲线的 E序列,两个不同领域的理论突然被连接在一起

安德列•韦依 採纳这个想法,「谷山-志村猜想」

18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画,一个统一化猜想的理论,并开始寻找统一的环链

19.1984年 格哈德•弗赖 Gerhard Frey 提出
(1) 假设费玛最后定理是错的,则 xn+yn=zn 有整数解,则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式
(2) 弗赖椭圆方程式太古怪了,以致於无法被模型式化
(3) 谷山-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都可以被模型式化
(4) 谷山-志村猜想 是错误的

反过来说
(1) 如果 谷山-志村猜想 是对的,每一个椭圆方程式都可以被模型式化
(2) 每一个椭圆方程式都可以被模型式化,则不存在弗赖椭圆方程式
(3) 如果不存在弗赖椭圆方程式,那么xn+yn=zn 没有整数解
(4) 费玛最后定理是对的

20.1986年 肯•贝里特 证明 弗赖椭圆方程式无法被模型式化

如果有人能够证明谷山-志村猜想,就表示费玛最后定理也是正确的

21.1986年 安德鲁•怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋,他每隔6个月发表一篇小论文,然后自己独力尝试证明谷山-志村猜想,策略是利用归纳法,加上 埃瓦里斯特•伽罗瓦 的群论,希望能将E序列以「自然次序」一一对应到M序列

22.1988年 宫冈洋一 发表利用微分几何学证明谷山-志村猜想,但结果失败

23.1989年 安德鲁•怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成无限多项,然后也证明了第一项必定是模型式的第一项,也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论,但结果失败

24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方法,对所有分类后的椭圆方程式都奏效

25.1993年 寻求同事 尼克•凯兹 Nick Katz 的协助,开始对验证证明

26.1993年5月 「L-函数和算术」会议,安德鲁•怀尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村猜想的证明

27.1993年9月 尼克•凯兹 Nick Katz 发现一个重大缺陷
安德鲁•怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居,尝试独力解决缺陷,他不希望在这时候公布证明,让其他人分享完成证明的甜美果实

28.安德鲁•怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘,在彼得•萨纳克的建议下,找到理查德•泰勒的协助

29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完全解决问题

30.「谷山-志村猜想」被证明了,故得证「费玛最后定理」
 
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註冊時間: 2003-12-30






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