[數學]Show the Improper Integral

[數學]Show the Improper Integral

訪客 於 星期五 三月 03, 2006 3:58 pm


證明:
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訪客

 

大嘴 於 星期五 三月 03, 2006 4:55 pm


∫1 /(1+X^2) ^2dX at((0, ∞)
令X=tan Y, dX/dY=sec^2Y  ,, Y at (0, π/2)
∫1 /(1+X^2) ^2dX=∫1 /(1+tan^2Y) ^2 *sec^2Y dY =∫1 /sec^2Y dY=
∫cos^2Y dY at (0, π/2)
=∫(1+cos2Y)/2 dY=1/2∫(1+cos2Y) dY=1/2(Y| at (0, π/2)+ (1/2)sin2Y| at (0, π/2))
=π/4

令X=tan Y,
∫X^2 /(1+X^2) ^2dX=∫tan^2Y /(1+tan^2Y) ^2 *sec^2Y dY =
∫tan^2Y /sec^2Y dY=∫sin^2Y dY=∫cos^2Y dY at (0, π/2)

大嘴
研究生
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訪客 於 星期五 三月 03, 2006 7:24 pm


最快的方法,但是很難想到

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訪客

 

大嘴 於 星期一 三月 06, 2006 4:44 pm


算法精簡, 但是很難理解.
請問在原因中Fs(w), Gs(w), f(t), g(t)各代表什麼?

大嘴
研究生
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訪客 於 星期一 三月 06, 2006 5:20 pm


用到傅立葉正餘弦變換。小寫表示原函數,大寫表示經變換後的函數,
 
下標s,c表示正弦或餘弦(sin,cos)。
 
式中亦用到逆變換形式。簡單來說,如果熟悉傅利葉正餘弦變換形式,
 
並且可以容易拆解為兩個同為正弦或餘弦變換,則可以用此方法計算為便捷。
 
這跟拉式變換一樣都是一種積分轉換,此法是由傅立葉變換拆解實部與虛部而來。

訪客

 

Trivial 於 星期五 三月 31, 2006 1:13 am


This is trivial.

Make the substitution x -> 1/x we get the first part.

It suffices to consider int_0^infinity 1/(1+x^2) dx = arctanx | 0 -> infinity = pi/2

so required integral = 1/2 * pi/2 = pi/4



Why should one use advanced method for a trivial question?

Trivial
訪客
 

大嘴 於 星期五 三月 31, 2006 10:42 am


It's nice for x→1/x to get the first part.
But can't understand why the required integral [∫1 /(1+x^2) ^2dx] equal to 1/2 of ∫1/(1+x^2) dx?

大嘴
研究生
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Trivial 於 星期日 八月 13, 2006 11:16 pm


If they are equal, sum them up!

Trivial
訪客
 






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