[數學]鈍角三角形...3000

[數學]鈍角三角形...3000

yll 於 星期三 四月 23, 2003 1:12 pm


三角形中若有兩個邊它們的中點連線之長度大於這個三角形的某一條中線之長度

試證:此三角形為鈍角三角形

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yptsoi 於 星期三 四月 23, 2003 10:21 pm


i dont understand.

yptsoi
訪客
 

---- 於 星期三 四月 23, 2003 10:40 pm


[hide:8cad5a4fab]
設a>b>c
則最長的中線為sqrt(2b^2+2c^2-a^2)
而由中點定理,中點連線長度中最短的是c/2

若c/2 > sqrt(2b^2+2c^2-a^2)
c^2/4 > 2b^2+2c^2-a^2
c^2 > 8b^2+8c^2-4a^2
8b^2+8c^2 < 5a^2 < 8a^2
b^2+c^2<a^2

cos A = (b^2+c^2-a^2)/2bc <0
則90<A<180

[/hide:8cad5a4fab]

----
訪客
 

Raceleader 於 星期六 四月 26, 2003 8:43 am


3000 1st, hope can find plane geo method
為求目的,不要硬說其他方法容易

Raceleader
訪客
 

---- 於 星期六 四月 26, 2003 12:47 pm


[hide:e8cb670f58]
plane geom, nearly make no difference.
設a>b>c
則最長的中線為sqrt(2b^2+2c^2-a^2)
而由中點定理,中點連線長度中最短的是c/2

若c/2 > sqrt(2b^2+2c^2-a^2)
c^2/4 > 2b^2+2c^2-a^2
c^2 > 8b^2+8c^2-4a^2
8b^2+8c^2 < 5a^2 < 8a^2
b^2+c^2<a^2

Draw a point D on AC such that CD^2 + c^2 = a^2
b<CD
At this time, BCD is a right triangle
Therefore angle ABC is obtuse
[/hide:e8cb670f58]

----
訪客
 

E.T 於 星期六 四月 26, 2003 12:57 pm


see see see
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左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

E.T

 
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Raceleader 於 星期日 四月 27, 2003 11:01 am


還有大邊對大角的證明
最好寫成會考的寫法

Raceleader
訪客
 

heron0520 於 星期日 四月 27, 2003 1:04 pm


see see
當把握........

heron0520

 
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kevin 於 星期日 四月 27, 2003 1:53 pm


reply

kevin
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hsiaod 於 星期三 五月 14, 2003 10:24 am


siuhochung 寫到:--- phpBB : The Protected Message is not copied in this quote ---


想知道怎麼解... :o

hsiaod
訪客
 

---- 於 星期三 五月 14, 2003 5:16 pm


Raceleader 寫到:還有大邊對大角的證明
最好寫成會考的寫法

幾何原本命題18

http://home.netvigator.com/~leeleung/element_01_018.html

----
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scsnake 於 星期三 五月 14, 2003 5:18 pm


忘了seesee這題...

scsnake
訪客
 

--- 於 星期四 五月 15, 2003 10:17 am


111

---
訪客
 

--- 於 星期四 五月 15, 2003 10:26 am


siuhochung 寫到:
設a>b>c
則最長的中線為sqrt(2b^2+2c^2-a^2)
而由中點定理,中點連線長度中最短的是c/2

三角形中若有兩個邊它們的中點連線之長度大於這個三角形的某一條中線之長度
試證:此三角形為鈍角三角形

comment:
(1)設a>=b>=c is better
(2) I think you should choose the longest 中點連線長度 (a/2) to compare with the shortest 中線 :sqrt(cc/2 + bb/2 - aa/4)
(3) Notice that 中線長 formula: sqrt(cc/2 + bb/2 - aa/4)

---
訪客
 

--- 於 星期四 五月 15, 2003 11:08 am


[hide:425f51ab2b](2) Via inner product:

let vector AB=u, vector AC=v
let |u|<=|v|<=|u-v|
|u+v|/2= the shortest 中線 < longest 中點連線長度 =|u-v|/2
==> uu+2uv+vv< uu-2uv+vv
==> uv<0
==> angle BAC is obtuse. ##

(3) via geometry:
let D be midpoint of BC
AD=m
DB=DC=r
make a cirlce O with center at D and redius as r.
中線AD=m < 中點連線長度 =2t/2=t
==> A is inside circle O, BC is the diameter of O
==> angle BAC=圓內角>圓周角=90 degrees.[/hide:425f51ab2b]

---
訪客
 

Raceleader 於 星期四 五月 15, 2003 1:23 pm


3000 to meowth

Raceleader
訪客
 

---- 於 星期四 五月 15, 2003 4:32 pm


Meowth 寫到:
siuhochung 寫到:
設a>b>c
則最長的中線為sqrt(2b^2+2c^2-a^2)
而由中點定理,中點連線長度中最短的是c/2

三角形中若有兩個邊它們的中點連線之長度大於這個三角形的某一條中線之長度
試證:此三角形為鈍角三角形

comment:
(1)設a>=b>=c is better
(2) I think you should choose the longest 中點連線長度 (a/2) to compare with the shortest 中線 :sqrt(cc/2 + bb/2 - aa)
(3) Notice that 中線長 formula: sqrt(cc/2 + bb/2 - aa)


well...
the question says 中點連線>中線,so I think I am correct.

Also I do think that sqrt(2c^2+2b^2-a^2) is correct...

----
訪客
 

--- 於 星期四 五月 15, 2003 8:04 pm


中線長 formula: sqrt(cc/2 + bb/2 - aa/4), ok?

---
訪客
 

--- 於 星期四 五月 15, 2003 8:05 pm


最"short" 的中線為sqrt(b^2/2+c^2/2-a^2/4) , ok?

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訪客
 

--- 於 星期四 五月 15, 2003 8:34 pm


I think my comments are ok. Yours are not so ok.

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訪客
 




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