[代數]二次方程

[代數]二次方程

宇智波鼬 於 星期六 二月 25, 2006 11:32 am


1.已知m為有理數,試確定k的值,使方程

的根為有理數.

2.已知對於正數a,b,c,方程

沒有實根.
求證: 長為a,b,c的線段能組成一個(面積不為0的)三角形.
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宇智波鼬

 
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Re: [代數]二次方程

piny 於 星期六 二月 25, 2006 12:02 pm


宇智波鼬 寫到:1.已知m為有理數,試確定k的值,使方程

的根為有理數.

2.已知對於正數a,b,c,方程

沒有實根.
求證: 長為a,b,c的線段能組成一個(面積不為0的)三角形.
 
1.
根為有理數,所以判別式為完全平方式
所以
 16(m-1)^2-4(3m^2-2m+4k)
=16m^2-32m+16-12m^2+8m-16k
=4m^2-24m+16-16k
 
可看出此式只得為(2m-6)^2
故16-16k=36,k=-5/4
 
2.
沒有實根,所以判別式小於0
所以
 (a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2<0
 (a^2-b^2-c^2+2bc)(a^2-b^2-c^2-2bc)<0
 [a^2-(b-c)^2][a^2-(b+c)^2]<0
 (a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a-b-c)<0
 
又(a+b+c)>0
故有四種可能
1.a+b-c>0,a-b+c>0,a-b-c<0
2.a+b-c>0,a-b+c<0,a-b-c>0
3.a+b-c<0,a-b+c>0,a-b-c>0
4.a+b-c<0,a-b+c<0,a-b-c<0
 
而a-b+c琱j於a-b-c,故2.矛盾
而a+b-c琱j於a-b-c,故3.矛盾
而(a+b-c)+(a-b+c)=2a>0,故4.矛盾
 
故唯一可能為情況1
 
整理如下
a+b>c
a+c>b
b+c>a
 
可看出此三邊為構成三角形的條件已成立

piny
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