[代數]代數競賽題8

[代數]代數競賽題8

宇智波鼬 於 星期四 一月 19, 2006 8:48 pm


復活後的第一題!

已知方程式:
有一個實根.
證明:
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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來自: 秘密組織~曉

galaxylee 於 星期三 一月 25, 2006 5:01 am


假設實根為k,則k^4+ak^3+2k^2+bk+1=0
ak^3+bk=-(k^2+1)^2
由柯西不等式,(a^2+b^2)(k^6+k^2)≧(ak^3+bk)^2=(k^2+1)^4
(a^2+b^2)≧(k^2+1)^4/(k^6+k^2)
再加上(k^2+1)^4-8(k^6+k^2)=(k^2-1)^4≧0
故(a^2+b^2)≧8(k^6+k^2)/(k^6+k^2)=8

galaxylee
副教授
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代數學