[數學]方程式

[數學]方程式

黑暗星辰 於 星期一 十二月 12, 2005 8:15 pm


設 a,b 均為整數,方程式 x^3+ax^2+bx-1=0, 之三根為 α,β,γ,
且 0<α<β<γ<3 ,則 a+3b 之值為?

黑暗星辰
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GFIF 於 星期二 十二月 20, 2005 3:42 pm


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由根與係數關係與 0<α<β<γ<3及算幾不等式
α+β+γ=-a<9,a>-9
-a=α+β+γ>3*(αβγ)^(1/3)=3,a<-3,故-9<a<-3
b=αβ+βγ+γα>3*(αβγ)^(2/3)=3,b>3

令f(x)=x^3+ax^2+bx-1,一次微分f’(x)=3x^2+2ax+b
極值出現在x=[-2a±√(4a^2-12b)]/6,因為f(x)=0三根皆小於3
由函數圖形和x軸相交的位置,可以知道當x=[-2a+√(4a^2-12b)]/6時
f(x)有極小值,且[-2a+√(4a^2-12b)]/6<3
√(4a^2-12b)<18+2a
0<4a^2-12b<(18+2a)^2
-(18+2a)^2<12b-4a^2<0......同乘(-1)
-324-72a-4a^2<12b<4a^2
-27-6a<b<a^2/3..............(*)

由-9<a<-3
(1)a=-8,代入(*),21<b<64/3,b無解

(2)a=-7,代入(*),15<b<49/3,b=16,此時f(x)=x^3-7x^2+16x-1
由堪根定理得知f(x)=0只有一實根,所以b=16不合

(3)a=-6,代入(*),9<b<12,b=10,11
同(2)之討論,f(x)=0只有一實根,b=10,11不合

(4)a=-5,代入(*),3<b<25/3,b=4,5,6,7
此時f(x)=0有二正根,一負根,b=4,5,6,7不合

(5)a=-4,代入(*),-4<b<16/3,但是3<b,所以b=4,5
當b=4時,f(x)=x^3-4x^2+4x-1=0,(x-1)(x^2-3x+1)=0
x=1或x=(3±√5)/2,合乎題意
當b=5時,f(x)=0只有一實根,b=5不合

由(1)~(5)之討論,a=-4,b=4是唯一滿足條件的整數,故a+3b=8

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