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在九章論壇待了好久,卻沒有完整解答的題目....

證明:5個連續正整數的乘積並非完全平方數.

宇智波鼬 寫到:在九章論壇待了好久,卻沒有完整解答的題目....

證明:5個連續正整數的乘積並非完全平方數.

連續五個正整數相乘只有五個情況，由於五的倍數只會出現一次，故若其乘積為完全平方數，則此完全平方數必可被五整除。

情況一：
（５ｋ－４）（５ｋ－３）（５ｋ－２）（５ｋ－１）（５ｋ）

上式可為（２５ｋ^２－２５ｋ＋４）（２５ｋ^２－２５ｋ＋６）（５ｋ）

　　　　令（２５ｋ^２－２５ｋ）＝Ａ，則Ａ為五的倍數，代回，

　　　　（Ａ^２＋１０Ａ＋２４）（５ｋ）＝〔（Ａ＋５）^２－１〕（５ｋ）

若上式為完全平方數，
則（Ａ＋５）^２－１為５ｂ^２（若ｋ為完全平方數，且ｂ為自然數）
或５ｄ＊ｃ^２（若ｋ為某完全平方數之ｄ倍，且ｃ為自然數，ｄ亦不被大於一之任何完全平方數整除）
或５ｋ＊ｅ^２（若ｋ非上述兩者情況，且ｅ為自然數）

當（Ａ＋５）^２－１為５ｂ^２時，（Ａ＋５）^２＝５ｂ^２＋１，由於Ａ為五的倍數，故左式被五整除，然右式被五除餘一，矛盾，故不存在此等式。
當（Ａ＋５）^２－１為５ｄ＊ｃ^２時，同理，矛盾。
當（Ａ＋５）^２－１為５ｋ＊ｅ^２時，同理，矛盾。
故情況一不可能為完全平方數。

情況二∼五皆證法類似，主要利用等式下，兩邊被五除之之餘應相等來探討。
故命題成立。