[數學]「業餘數學家之王」--皮耶.德.費瑪

[數學]「業餘數學家之王」--皮耶.德.費瑪

wayne1693 於 星期五 十二月 02, 2005 11:49 pm


費瑪於1601年8月20日,出生在法國西南部的小鎮。父親為富有的皮革商人,因而費瑪得以接受完整的教育。他在大學讀法律,畢業後的正業是律師、宮庭顧問,且由於工作認真,並熱心於社會福利事業,在1631年成為家鄉Toulouse地區的議員。之所以稱費瑪「業餘」,是由於他具有律師的全職工作。數學史學家貝爾稱費瑪為「業餘數學家之王」,並認為費瑪是17世紀數學家中最多產的明星。1665年1月9日費瑪因執行公務而染上了重疾,3天後便與世常辭了。

    閒餘時間費瑪常看些古書,尤其愛讀古希臘的數學名著。他不時作些題目,並進行數學研究,與當時的數學名家,如巴斯卡、笛卡兒、渥里斯等人通信,交流心得體會。在解析幾何、數論、無窮小分析 (微積分之前身) 和概率論方面,他都有重要之貢獻。
 

解析幾何:

    費瑪與笛卡兒(Descartes)兩個人獨立地發明解析幾何,但是方向正好相反。費瑪是由方程式出發,走向圖形。他於《平面與立體軌跡引論》一文中明確地指出曲線可以方程描述,且曲線性質可由方程的研究推斷出。在1638年笛卡兒發表其《La Ge`ome`trie》大作後的第二年,費瑪寄給他一份如何找切線的論文。因此,他與笛卡兒並列為解析幾何的發明者。遺憾的是,費瑪沒有意識到引進符號體系的重要意義,他用繁瑣的方式表述新的數學思想,很難為同時代的人所接受,有關解析幾何的著作也是這樣。於是,人們就將熱情的讚歌幾乎全部獻給了解析幾何的另一位創始人-笛卡兒。
 

微積分:

    另外,他也是早期微積分學的先驅。他於1636年給羅貝瓦爾及1638年給笛卡兒的信中提出求極大、極小與拐點的步驟,實際已相當於使導數成零而求極點之方法,這成為現代微積分中函數取極值之必要條件。 當牛頓讀到費瑪的作品時,如觸電一般,從中提煉出真正的微分法。
 

概率論:

    費瑪和巴斯卡是概率論早期的創立者。

  有兩個賭徒賭博,但賭到半途,有事必須終止賭局,但不知要如何才是公平地瓜分賭金。於是有人就去請教費瑪,在1654年費瑪和巴斯卡 (Pascal) 通信討論,解決了這個問題,這就是著名的瓜分賭金問題。有些數學史家就把1654這一年與這件事,當作是機率論的起源。

    巴斯卡與另外兩名數學家費瑪和惠更斯通信研究此事。1657年,惠更斯發表了《論賭博中的計算》一文。稍後,數學家J.伯努利寫出巨著《推測術》,把賭博的現象加以理論研究。此後概率論上升為一門新的數學學科。
 

數論:

    雖然費瑪沒有受過嚴格的數學訓練,也不精於嚴謹的數學證明,但他具有偉大的直觀天才。費瑪憑藉豐富的想像力和深刻的洞察力,提出了一系列重要的猜想和一些新的數學方法,確定了數論的研究方向。他寫過許多關於數論的定理,但頂多只給予簡略的證明,數論上有許多重要事項與費瑪的名字相連,他可說是近代數論的開創者。最重要的三個定理如下:

費瑪的兩平方和定理:任何形如4n + 1的質數都可以唯一表成兩個平方數之和。

費瑪小定理:設p為一個質數並且 a 為一個整數。若 p 不可整除 a ,則 ( mod p ) 。

費瑪最後定理:x n + y n = z n,當n大於2時,沒有整數解。
 

    費瑪喜歡在別人的數學著作的空白處寫下自己的注解,提出自己的“定理”,卻幾乎從來不給予證明,這就很難保證他的猜想都是正確的,而且,也給後人的工作添了不少的麻煩。

    有一次,費瑪注意到一種現象,費瑪猜想,用公式 (n 是自然數)表示的數都是質數。 這猜想對嗎?在費瑪死後六十七年,著名數學家尤拉發現當n = 5時,= 4294967297 = 641×6700417,其結果否定了費瑪的這個猜想。不過,上述猜想是費瑪唯一一個被證明是錯誤的重要猜想,而他其餘的重要猜想,幾乎都已被後人證明是正確的,費瑪的兒子克雷門.山繆.費瑪(Clement-Samuel)成了他科研上的主要助手,並在費瑪逝世後,花了 5年的時間,將其父親一生在數論上傑出的研究及發現彙整成冊,並於 1670年在圖盧茲出版了一本 ”附有 P.de費瑪評註的 Diophantus 的算術” (Diophantus’ Arithmetica Containing Observations by P. de Fermat)。在這些評註中就有一個如此說:”將一個立方數分為兩個立方數,一個四次方數分為兩個四次方數,或者更一般地將一個高於二次冪的數分為兩個同次冪的數,這是不可能的。我已得到正確而巧妙的證明了,可惜這書的空白邊緣太少而不能容納全部的證明。” 這個評註就是今日聞名已久的“費瑪最後定理”,為什麼稱為”最後定理”,因為這個評註是最後一個尚未被証出的評註,所以才稱為”最後”。

    德國數學家P.Wolfshehl在1908年過世時遺贈十萬馬克給Gottingen大學裡的德國科學學術院,懸賞能夠解決“費瑪最後定理”的人。這獎金吸引了數千人投入研究,然而大多無功而返,沒有一個人提出正確的證法,此問題誤證之多,數學史上無出其右,直到1993年6月23日。

    1993年6月23日在劍橋大學的牛頓研究所裡,美國普林斯頓大學的數學教授安德魯 懷爾斯(Andrew Wiles),發表了”費瑪最後定理”的証明。這個証明Wiles總共費時7年才將其完成,但是由於初稿有些地方的証明不夠嚴謹,因而被一些數學家質疑,因此再花了1年的時間才真正大功告成,並於1995年5月將其研究發表在”數學年刊”上。

wayne1693
初學者
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文章: 10
註冊時間: 2005-12-02






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