[數論]數論競賽題20

[數論]數論競賽題20

宇智波鼬 於 星期二 十一月 29, 2005 8:58 pm


試求出所有有序正整數對(m,n)使得:
是一個整數
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宇智波鼬

 
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Re: [數論]數論競賽題20

piny 於 星期二 十一月 29, 2005 11:47 pm


宇智波鼬 寫到:試求出所有有序正整數對(m,n)使得:
是一個整數


小弟的解法如下,成為整數只有兩種情況,一種是分子剛好可被分母(不為1)整除,一種是分母本來就是1

以下先令m為常數,所以
(n^3+1)=(mn-1)[(n^2)/m+n/(m^2)+1/m^3]+(1+1/m^3)

第一種情況:餘數為0,所以m=-1(還需檢查m代回是否讓商同時為整數)
第二種情況:分母為1,所以mn=2,(m,n)=(1,2)(2,1)

現在才看到m為正整數的限制,要不然m=-1時,n只要是整數都可以成立了

故(m,n)=(1,2)、(2,1)

上述方法好像會少想好幾組,已知就(1,3)(3,1)(2,2)(2,5)(5,2)(3,5)(5,3)...,有空再想看看怎麼找出所有解

piny
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