[問題]不是正整數

[問題]不是正整數

qeypour 於 星期一 十一月 28, 2005 9:43 pm


n>1,n為正整數 試證 :1+1/2+1/3+1/4+......+1/n不是正整數

qeypour
大 師
大 師
 
文章: 431
註冊時間: 2005-07-23

Re: [問題]不是正整數

piny 於 星期三 十二月 21, 2005 12:58 pm


qeypour 寫到:n>1,n為正整數 試證 :1+1/2+1/3+1/4+......+1/n不是正整數


先假設有一正整數N使上式為整數,其值為Z

若N為質數
則上式可為1+1/2+1/3+...+1/N=Z
1+1/2+1/3+...+1/(N-1)=Z-1/N
令上式左式之最簡分數為A/B
所以A/B=Z-1/N
NA/B=NZ-1

由於N,B互質,故NA/B不為整數,然右式為整數,故矛盾,故N為質數時,命題必不成立。

若N不為質數
假設其值介於P(a)與P(b)之間,a<b
其中P(x)表第x個質數,P(1)=2,P(2)=3,P(3)=5,...
所以題意1+1/2+1/3+...+1/N=Z
可整理成1+1/4+1/6+1/8+...+1/N=Z-1/2-1/3-1/5-1/7-...-1/P(a-1)
左式令其最簡分數為C/D,且2*3*5*7*...*P(a-1)=H
兩邊同乘H,為HC/D=HZ-H(1/2+1/3+1/5+1/7+...+1/P(a-1))

右式為一整數,然左式中的D因為含有P(a)的質因數,故與H約分下必至少存在,所以左式琱ㄛ偏蒱ヾA矛盾,故N不為質數時,命題亦不成立。

綜上,故命題琱ㄕ言腄A故此式非為正整數。

舉一例解釋N不為質數之情形:
當N不為質數時,可令N為20(這個數字是隨便取的,只要非質數即可),可看出17<19<20<23

因此題意可為1+1/4+1/6+1/8+1/9+1/10+1/12+1/14+1/15+1/16+1/18+1/19+1/20=Z-1/2-1/3-1/5-1/7-1/11-1/13-1/17

兩邊同乘2*3*5*7*11*13*17令左式最簡分數為C/D,此時右式為為一整數,但左式之D有19之質因數,故整理後,分母至少有一質因數19,亦即左式必不為整數,故得證。

再加一句話證明分母的19不會在約分C/D時消去,
亦即D必有19之質因數,C必沒有。
1+1/4+1/6+1/8+1/9+1/10+1/12+1/14+1/15+1/16+1/18+1/19+1/20
(1+1/4+1/6+1/8+1/9+1/10+1/12+1/14+1/15+1/16+1/18+1/20)+1/19
E/F+1/19,其中(E,F)互質,且(F,19)=1
(19E+F)/19F

上式分子琱ㄢQ19整除,故此值已為最簡,分母必有19,分子必無。

piny
大 師
大 師
 
文章: 398
註冊時間: 2005-10-15
來自: 台北市

piny 於 星期二 一月 03, 2006 2:15 pm


發現上個月的證法不夠嚴謹,漏掉一種不一定整除的現象,所以把原文刪了...

以上為小弟新的想法,應該較嚴謹多了,請指教

piny
大 師
大 師
 
文章: 398
註冊時間: 2005-10-15
來自: 台北市






代數學