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已知
x^2+y^2=1
z^2+w^2=1
xz+yw=0

求xy+zw得值

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 寫到:已知
x^2+y^2=1
z^2+w^2=1
xz+yw=0

求xy+zw得值

我簡單的計算，所得的解果是0（尚未有具體作法）

我採用轉換成三角函數做，或者說極座標的方式，
轉換後兩組方程式是同心圓半徑為一



或者：


我只做其中一組的特例，應該用三角函數的性質既可整理出來

xz==(-yw)
兩邊平方
x^2*z^2=y^2*w^2
x^2=1-y^2
所以
(1-y^2)z^2=(1-z^2)y^2
然後得出 y^2=z^2  y或者=z 或者為相反數
x或者等於w或者為相反數
而xz+yw=0
又,根據上述說明:得出xy+zw=0.

若x=0，則y=1,-1，又xz+yw=0，所以，w=0，z=1,-1
若y=0，則x=1,-1，又xz+yw=0，所以，z=0，w=1,-1

以上兩特殊情況皆令xy+zw為0，但是還未考慮x,y皆不為0的情況....

以上多寫的啦，本來是要用討論的來證明此式一定為0
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用三角函數來證：

由題意可令x=sinA,y=cosA,z=sinB,w=cosB，0≦A,B≦2兀
代入xz+yw=sinAsinB+cosAcosB=cos(A-B)=0

所以A-B=(1/2)兀或(3/2)兀

當A-B=(1/2)兀
sinB=-cosA，cosB=sinA，故所求為0

當A-B=(3/2)兀
sinB=cosA，cosB=-sinA，故所求為0

所以所求必為0

還有個簡單的方式^^

已知
x^2+y^2=1
z^2+w^2=1
xz+yw=0

求xy+zw得值

解：
xy+zw=(z^2+w^2)xy+(x^2+y^2)zw
xyz^2+xyw^2+zwx^2+zwy^2
=xz(yz+xw)+yw(xw+zy)
=(yz+xw)(xz+yw)
=(yz+xw)•0
=0

上述諸多解法都很不錯，但題目並未提及x,y,z,w為實數，即有複數可能
，所以部份解法是否有爭議