由 galaxylee 於 星期二 十一月 01, 2005 8:41 pm
第1題
設 x=a/(abc的三次方根),y=b/(abc的三次方根),z=c/(abc的三次方根)
則 x,y,z是正實數且xyz=1
而原不等式變成
(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)≧2(1+x+y+z)
xyz(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)≧1*2(1+x+y+z)
(y+x)(z+y)(x+z)≧2(1+x+y+z)
(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz≧2+2(x+y+z)
(x+y+z)(xy+yz+zx)-2(x+y+z)≧2+xyz=3
原不等式和(x+y+z)(xy+yz+zx-2)≧3是等價的,只要證明此不等式即可
由xyz=1和算幾不等式可得
x+y+z≧3*(xyz的三次方根) = 3
xy+yz+zx≧3*[(xy)(yz)(zx)的三次方根] = 3
所以(x+y+z)(xy+yz+zx-2)≧3*(3-2)=3 Q.E.D