[徵答]不等式

[徵答]不等式

宇智波鼬 於 星期六 十月 29, 2005 9:38 pm


設a,b,c為正實數,證明:
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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宇智波鼬 於 星期六 十月 29, 2005 9:42 pm


追加一題:

設x,y,z為正實數,且x+y+z大於等於3,
證明:
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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galaxylee 於 星期二 十一月 01, 2005 8:41 pm


第1題
設 x=a/(abc的三次方根),y=b/(abc的三次方根),z=c/(abc的三次方根)
則 x,y,z是正實數且xyz=1
而原不等式變成
(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)≧2(1+x+y+z)
xyz(1+x/y)(1+y/z)(1+z/x)≧1*2(1+x+y+z)
(y+x)(z+y)(x+z)≧2(1+x+y+z)
(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz≧2+2(x+y+z)
(x+y+z)(xy+yz+zx)-2(x+y+z)≧2+xyz=3
原不等式和(x+y+z)(xy+yz+zx-2)≧3是等價的,只要證明此不等式即可

由xyz=1和算幾不等式可得
x+y+z≧3*(xyz的三次方根) = 3
xy+yz+zx≧3*[(xy)(yz)(zx)的三次方根] = 3
所以(x+y+z)(xy+yz+zx-2)≧3*(3-2)=3  Q.E.D

galaxylee
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lcflcflcf 於 星期四 十一月 03, 2005 6:14 pm


宇智波鼬 寫到:追加一題:

設x,y,z為正實數,且x+y+z大於等於3,
證明:


左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
人人為我 我為人人
~就讓一切隨風~

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宇智波鼬 於 星期五 十一月 18, 2005 9:48 pm


再來兩題比較容易的:

1.設正有理數
的一個近似值.令
求證:
(1)介於之間.
(2)更接近於.
(3)寫出比更接近於的另一個有理近似值.
(4)分析研究上述結論,提出一種求的有理近似值的方法.

2.已知實數a,b,c滿足a+b+c=0,abc=8.
求證:
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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piny 於 星期五 十一月 18, 2005 11:00 pm


宇智波鼬 寫到:
2.已知實數a,b,c滿足a+b+c=0,abc=8.
求證:


(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)

因為a+b+c=0,abc=8,所以a,b,c皆不為0,所以a^2+b^2+c^2大於0,所以(ab+ac+bc)小於0,所以(ab+ac+bc)/abc小於0,展開得證

piny
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lcflcflcf 於 星期五 十一月 18, 2005 11:11 pm


左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
人人為我 我為人人
~就讓一切隨風~

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宇智波鼬 於 星期六 十一月 19, 2005 10:53 am


嗯嗯..你們第2題的答案都不錯.
但其實我主要是想看你們第1題的解答呢.
因為我覺得我解的好像怪怪的...
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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