宇智波鼬 寫到:設|x| 表示實數x的絕對值, m、n 為任意的正整數。試求 的最小值。
可看出25的次方從二次方開始,其末三位都是625,
而7的次方末兩位為每4次一循環、末三位為每20次一循環,
3的次方末兩位為每20次一循環、末三位為每100次一循環,
故7的次方+3的次方,其末兩位為以下循環,
即10,58,70,82,50,78,30,62,90,98,90,42,30,18,50,22,70,38,10,02
又當m,n為1時,所求為15,故若絕對值相減欲比15小,則7的次方+3的次方之末兩位只得為11∼39,由上可知可為22或30或18或38。
7的16次方+3的16次方末兩位為22,且末兩位為22時之次方為16,36,56,76,96,...之次方和,又末三位為100次一循環,故經驗算可知其百位數只可為1,3,5,7,9,可知其與25之任一次方相減,其末三位相減絕對不可能為3。
7的13次方+3的13次方末兩位為30,且末兩位為30時之次方為13,33,53,73,93,...之次方和,又末三位為100次一循環,故經驗算可知其百位數只可為1,3,5,7,9,可知其與25之任一次方相減,其末三位相減絕對不可能為5。
7的14次方+3的14次方末兩位為18,且末兩位為18時之次方為14,34,54,74,94,...之次方和,又末三位為100次一循環,故經驗算可知其百位數只可為2,4,6,8,0,可知其與25之任一次方相減,其末三位相減出現極小可能值為74次方,但是7的74次方+3的74次方為63位數,但是25的次方為63位數是出現在25的45次方,其首位不相等,故相減絕不可能為7。
7的18次方+3的18次方末兩位為38,且末兩位為38時之次方為18,38,58,78,98,...之次方和,又末三位為100次一循環,故經驗算可知其百位數只可為1,3,5,7,9,可知其與25之任一次方相減,其末三位相減絕對不可能為13。
另外一種算法,不過要有耐心...
若直接考慮末三位的變化,則只需考慮百位數為6時,且其絕對差小於等於15,可看出只有618符合條件,(不用考慮兩次出現的610,因為就算出現極小,也是15,不影響所求)則可以直接討論618時之兩者位數和首位來判斷即可。
由上可知,15為最小值,即m,n為1時,有最小值15。
----
以下列出7的次方+3的次方之末三位循環(每100次)
7 3 和 次方
007 003 010 ...01
049 009 058
343 027 370
401 081 482
807 243 050
649 729 378
543 187 730
801 561 362
607 683 290
249 049 298
743 147 890 ...11
201 441 642
407 323 730
849 969 818
943 907 850
601 721 322
207 163 370
449 489 938
143 467 610
001 401 402
007 203 210 ...21
049 609 658
343 827 170
401 481 882
807 443 250
649 329 978
543 987 530
801 961 762
607 883 490
249 649 898
743 947 690 ...31
201 841 042
407 523 930
849 569 418
943 707 650
601 121 722
207 363 570
449 089 538
143 267 410
001 801 802
007 403 410 ...41
049 209 258
343 627 970
401 881 282
807 643 450
649 929 578
543 787 330
801 361 162
607 083 690
249 249 498
743 747 490 ...51
201 241 442
407 723 130
849 169 018
943 507 450
601 521 122
207 563 770
449 689 138
143 067 210
001 201 202
007 603 610 ...61
049 809 858
343 427 770
401 281 682
807 843 650
649 529 178
543 587 130
801 761 562
607 283 890
249 849 098
743 547 290 ...71
201 641 842
407 923 330
849 769 618
943 307 250
601 921 522
207 763 970
449 289 738
143 867 010
001 601 602
007 803 810 ...81
049 409 458
343 227 570
401 681 082
807 043 850
649 129 778
543 387 930
801 161 962
607 483 090
249 449 698
743 347 090 ...91
201 041 242
407 123 530
849 369 218
943 107 050
601 321 922
207 963 170
449 889 338
143 667 810
001 001 002