[數學]年齡

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GFIF 於 星期五 十月 28, 2005 7:06 pm


甲年歲的三倍加上乙的年歲,等於丙年歲的兩倍。丙年歲的立方的兩倍等於甲年歲的立方的三倍加上乙年歲的立方。他們各自的年歲互為素數。他們的年歲的平方是____ 。

GFIF
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一陣風 於 星期六 十月 29, 2005 9:53 pm


設甲,乙,丙各為x,y,z歲,
則由已知可得

3x + y = 2z..................(1)
3x^3 + y^3 = 2z^3.......(2)

由(1)得y = 2z - 3x代入(2)式

=> 3x^3 + (2z - 3x)^3 = 2z^3

=> x^3 + (2z - 3x)^3 = 2z^3 - 2x^3

=> (2z - 2x)[ x^2 - x(2z - 3x) + (2z - 3x)^2 ] = 2(z - x)(z^2 + xz + x^2)

若z = x,則在(1)式中得y = -z不合. 故z,x不同.

所以上式可約掉2(z - x)得

x^2 -x(2z - 3x) + (2z - 3x)^2 = z^2 + xz + x^2

整理可得

12x^2 - 15xz + 3z^2 = 0

=> x = z(不合) 或 4x = z

這一題"他們各自的年歲互為素數"應該是指互質吧?因4x = z不可能為兩個質數.

由x,z互質可得x = 1,z = 4,y = 5,驗算知合於原方程式.

故各自平方得1,16,25.

一陣風
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