由 galaxylee 於 星期六 十月 29, 2005 1:27 am
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預備知識:
(i)奇數的平方必為8n+1型
(ii)不是3的倍數之奇數,其平方必為3n+1型
(iii)為3的倍數之奇數,其平方必為3n型
(1)
k=2*3*5*7*....=10*3*7*...
k的個位數為0,十位數為奇數,可能為1,3,5,7,9
所以k+1的末兩位數可能是11,31,51,71,91
這些都不是8n+1型,所以k+1不是某個奇數的平方,k+1不是完全平方數
(2)
k-1的末兩位數可能是09,29,69,89(因為k的十位數字不可能是5,所以不可能為49)
(i)29,69不是8n+1型
(ii)k-1不是3的倍數,且89不是3n+1型
(iii)
若k-1末兩位數為09,且為完全平方數,則k-1必為某一個個位數3,十位數0的平方
設此數為100a+3,即k-1=(100a+3)^2
若a為3的倍數,則k-1為3的倍數,k不為3的倍數,與k為3的倍數矛盾。
若a用3除餘1,則k-1為3n+1型,k為3n+2型,與k為3的倍數矛盾。
若a用3除餘2,則k-1為3n+1型,k為3n+2型,與k為3的倍數矛盾。
由(i)(ii)(iii),k-1不是完全平方數