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有一數n，且為三位數 被4除餘3 被5除餘2 被7除餘1
問有幾個可能？

被4除餘3
=>n為奇數

被5除餘2
=>n=7(mod 10)

被7除餘1
設n=7k+1
7k=6(mod 10)
=>k=10a+8
∴n=70a+57
其中a為正整數
所以n有無限多個可能

符合題意為

n=140a+127，a為0,1,2,3,...

又n為三位數，故有七解，分別為a=0~6

此題解法至少5種以上，在此提供我常用的兩種解法
解1：設n=[4,5,7]t+[5,7]a+7b+1
n≡2b+1≡2 (mod 5) 取b=3 所以n=140t+35a+22
又n≡3a+2≡3 (mod 4) 取a=3 所以n=140t+127
又n為三位數，所以取t=0,1,…,6共有7個可能
解2：設n=4a+3=5b+2=7c+1
b=(7c-1)/5=c+[(2c-1)/5] 取c=3,8,13,18,…
a=(7c-2)/4=2c+[(-c-2)/4] 取c=2,6,10,14,18,…
所以取c=18時n=127為最小值
所以n=140t+127又n為三位數，所以取t=0,1,…,6共有7個可能

設n=a+b+c
n≡3(mod4)  a≡3(mod4)  b≡0(mod5)  c≡0(mod7)
n≡2(mod5)  a≡0(mod4)  b≡2(mod5)  c≡0(mod7)
n≡1(mod7)  a≡0(mod4)  b≡0(mod5)  c≡1(mod7)

令a=5*7*p=35p≡3(mod4)，取p=1，a=35
b=4*7*q=28q≡2(mod5)，取q=4，b=112
c=4*5*r=20r≡1(mod7)，取r=-1，c=-20

n=35+112-20+[4，5，7]t(t為0或正整數)
=127+140t

127+140t<1000
t<6.2......
所以t只取0~6共7解