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阿婆 · 由阿婆於星期二十月 25, 2005 10:08 pm

Two players a and b play a game consecutively till one of them loses all his capital.
Suppose a starts with a capital of $a and b with a capital of $b and the loser pays $1 to the winner in each game .
Let p represent the probability of winning each game for a and q=1-p for player b .
Find the probability of ruin for each player if no limit is set for the number of games.
請大家回答一下?

非常感謝

lcflcflcf · 由 **lcflcflcf** 於星期二十月 25, 2005 10:53 pm

是與Gambler's Ruin有關嗎？
p=b/(a+b)
q=a/(a+b)
是這樣嗎？

阿婆 · 由阿婆於星期三十月 26, 2005 9:24 pm

不暸解大大所解答的方法，可否請用更詳細的解答方法，感謝

lcflcflcf · 由 **lcflcflcf** 於星期三十月 26, 2005 9:52 pm

http://mathworld.wolfram.com/GamblersRuin.html

大嘴 · 由大嘴於星期三三月 01, 2006 10:59 pm

我的直覺是
p(a)=ap/(ap+bq)
P(b)=bq/(ap+bq)
但未能証明

訪客 · 由訪客於星期四三月 02, 2006 1:33 pm

答案要分兩個部份，p=q與p≠q

(1)p=q時，P_a= b/(a+b) P_b=a/(a+b) 這表示輸光的機率。

(2)p≠q時，令(p/q)=k P_a=(k^a+b-k^a)/(k^a+b-1) P_b==(k^a+b-k^b)/(k^a+b-1) 這也表示輸光的機率。

事實上此題先令P_x 表示某人在某次比賽輸但是剩x元的機率，考慮第一次輸贏

P_x=pP_x+1+(1-p)P_x-1 ,然後邊界條件是P₀=1 ,P_a+b=0

然後套上面兩個條件解一解差分方程，就可以得到答案了。

大嘴 · 由大嘴於星期四三月 02, 2006 3:00 pm

Px=pPx+1+(1-p)Px-1
很棒的想法: 手上有x元的路徑, 由x-1元與x+1元的狀態來. 乘以各自發生機率. 經典的貝葉斯規則(Bayes’ rule).

當x=1時, P1=pP2+(1-p)P0 ,P1=pP2+(1-p) 數學式正確.
但考慮 P1=pP2+(1-p)P0 的物理意義時: 手上有1元的路徑由0元與2元的狀態來, 乘以各自發生機率. 但手上0元時, 被判定輸了. 這條路徑應該不存在的.
此時卻有物理合理性的困擾,
請解惑.

訪客 · 由訪客於星期四三月 02, 2006 7:56 pm

其實還有一個限制條件就是a+b-1>=x>=1，誠如你所說當x=0時這場比賽也不用玩了，沒意義，恆輸所以P₀=1。P_x其實是由X(n)從狀態x移轉到0的機率，

或許建立隨機模型你可能比較了解。

X(n)表示已經玩n次還剩下多少錢，考慮第一人初使狀態X(0)=a，游動到當X(k)=0或a+b即停止，狀態空間E={0,1,2,...,a+b}，這是馬可夫Chain。

而P_x在此假設下代表是P( X(n+L)=0 | X(n)=x ) 也就是在玩n次後有x元然後移轉到輸掉機率。所以P₀=P(X(n+L)=0 | X(n) =0 ) =1 因為目前狀態是0元，已經是停止的狀態了，所以機率就是1了，另外P_a+b=P(X(n+L)=0 | X(n) =a+b ) =0，這也是停止狀態，所以機率是0，不知道這能不能解決你的疑惑？
另外P_a表達的意思就是P(X(0+L)=0 | X(0)=a)時的意思，只不過把n取成0，

同理，當第一人玩很多次之後發現比賽還沒結束但是他手頭上還是有a元，此時回復到初始狀態，也就是說明玩很多次沒輸沒贏之後輸光的機率也是一樣的。

當某人賭本比較小的時候，輸光的機率也比較大(當然要在p=q的條件下)，這就告訴我們公平賭到沒錢比賽的時候(不允許額外加碼)，本錢多的通常是贏家。

廢話一大堆...，這個是標準解法了(算很基礎的題目，以前常算)，這個題目叫做Game Ruin

另外我不是念物理的，所以不太懂你說的物理意義？我只是搜尋到這個網站剛好看到這個問題就來解解看。

大嘴 · 由大嘴於星期四三月 02, 2006 11:58 pm

你說的狀態空間, 機率空間, 馬可夫Chain,我懂.
P0=1 ,Pa+b=0. 我懂.

我所謂物理意義, 不是指物理學意義, 而是現實世界的具象意義(離開數學的符號意義), 用現實現象解釋.

我的問題是:
當1<X<(a+b-1)時, Px=pPx+1+(1-p)Px-1 公式所代表的現實意義, 容易理解. 因X的狀態是由x-1與x+1兩個狀態來的(路徑). 因此Px等於Px+1乘以發生機率加上Px-1乘以機率.
但當x=1和(a+b-1)時, 它只分別各由2與a+b-2一個狀態來(路徑), 因此以現實意義來說, 方程式只能是P1=pP2 ,而非P1=pP2+(1-p)P0;
P(a+b-1)=(1-p)P(a+b-2) 而非P(a+b-1)= pP(a+b)+ (1-p)P(a+b-2)
然而, 因Pa+b=0 故將P(a+b-1)=(1-p)P(a+b-2) 寫成數學式P(a+b-1)= pP(a+b)+ (1-p)P(a+b-2) 無妨;
但P0=1 將P1=pP2 寫成數學式P1=pP2+(1-p)P0 就有問題了. 它不符合現實意義.

《這個是標準解法很基礎的題目，這個題目叫做Game Ruin》
很慚愧, 請問Game Ruin是哪一門課程內的課題? 我以前修的機率學和作業研究都沒有看過.

大嘴 · 由大嘴於星期五三月 03, 2006 12:22 am

不過,再仔細思考P1=pP2 而得P1<P2似乎更不合理. 當x=1(手上有$1的狀態), 輸光的機率應該大於x=2(手上有$2的狀態), 也就是說P1>P2 才合乎現實.
P1=pP2+(1-p)P0 就比較可能.

請問哪出錯了?

訪客 · 由訪客於星期五三月 03, 2006 12:28 pm

卡在 x=1 與 x=a+b-1這兩點嗎？

如果僅有一元的時候，可能是玩一次就輸光了，也可能是賺到別人的錢然後遊戲繼續...。

P₁=pP₂？這才是我不解的。 P₁=pP₂+(1-p)P₀ 是說明上面的情形，(1-p)的部份是遊戲結束，p的部份是繼續開始

x=a+b-1是極端的狀態，也就是說明P_a+b-1=pP_a+b+(1-p)P_a+b-2，也可以改寫成

P_a+b-1=(1-p)P_a+b-2 就是說，消失的那一項是說，贏就結束了，只有輸才可能繼續

別忘了，P表示由某個狀態移轉到輸的情況，也就是最後是輸那麼就是1 ，最後是贏那麼就是0

更進一步的說，就是第一次有一元的時候P₁= 第一次贏的機率*有兩元但最後輸的機率 + 第一次輸的機率*有0元最後輸的機率(此點已經結束了，恆為1)

大嘴 · 由大嘴於星期五三月 03, 2006 2:33 pm

糟糕, 我理解錯誤. 我該把公式改為Px=(1-p) Px+1+pPx-1
我以為是:
有一元的狀態P1=有兩元但最後輸的機率*輸的機率(本次由兩元狀態到一元狀態) + 有0元最後輸的機率*贏的機率(本次由0元狀態到一元狀態)

為什麼是Px=pPx+1+(1-p)Px-1
有X元的時候Px= 第一次贏的機率*有X+1元但最後輸的機率 + 第一次輸的機率*有X-1元最後輸的機率

而不是Px=(1-p) Px+1+pPx-1
有X元的狀態Px=有X+1元但最後輸的機率*輸的機率(本次由X+1元狀態到X元狀態) + 有X-1元最後輸的機率*贏的機率(本次由X-1元狀態到X元狀態)

因為(X元的狀態)=(X+1元狀態輸一次過來的)+ (X-1元狀態贏一次過來的)

訪客 · 由訪客於星期五三月 03, 2006 3:12 pm

因為我是考慮第一次輸贏互斥，所以第一次贏要*知道第一次贏但是輸掉的機率

+第一次輸*知道第一次輸但是最後還是輸

所以，也就是第一次贏還要多輸一次(也相當於現在有a+1元去比賽) 第一次輸只要少輸一次就行了(也相當於現在有a-1元去比賽)。

所以才會生成那個式子(只是先以x取代而已)。最後帶入a就可以知道某人帶a元去玩最後輸光的機率

大嘴 · 由大嘴於星期一三月 06, 2006 4:46 pm

面壁思過, 我想通了.

雖然(X元的狀態)=(X+1元狀態輸一次過來的)+ (X-1元狀態贏一次過來的)
但是機率是不能繼承, 所以公式
Px=(1-p) Px+1+pPx-1
是不正確的.

正確的公式, 是您所列
Px=pPx+1+(1-p)Px-1

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