[代數]兩道三元多次方程

[代數]兩道三元多次方程

lcflcflcf 於 星期五 十月 21, 2005 12:11 am


1)
的非負整數解

2)
的整數解
人人為我 我為人人
~就讓一切隨風~

lcflcflcf
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galaxylee 於 星期五 十月 21, 2005 1:39 pm


(1)
因為三數的平方和為偶數,因此三數必須同為偶數,或一偶數二奇數
但若為一偶數二奇數,等號左邊不為4的倍數,但等號右邊是4的倍數
所以此情形為不可能,即三數只能是偶數
令x=2(x1),y=2(y1),z=2(z1)代入方程式,得
(x1)^2+(y1)^2+(z1)^2=4(x1)(y1)(z1)
理由同上,x1,y1,z1必須是偶數,即x1=2(x2),y1=2(y2),z1=2(z2)
x=(2^2)(x2),y=(2^2)(y2),z=(2^2)(z2)
依此類推,對任意自然數k,x=(2^k)(xk),y=(2^k)(yk),x=(2^k)(yk)
且xk、yk、zk都是偶數,並滿足(xk)^2+(yk)^2+(zk)^2=2^(k+1)(xk)(yk)(zk)
這只有x=y=z=0時才可能
解只有(x,y,z)=(0,0,0)

galaxylee
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piny 於 星期五 十月 21, 2005 2:34 pm


第二題解為(0,0,0),
題目等同於問Z^2+1=(X^2-1)(Y^2-1)之整數解

由於任何數平方被四數必餘1或0

情況一:Z^2被四整除,則左式被四除餘1
    右式可分三種小情況
    a.兩者平方皆被四整除,則右式被四除餘1
    b.其一平方被四整除,則右式被四除餘0
    c.兩者平方被四除皆餘1,則右式被四除餘0

情況二:Z^2被四除餘1,則左式被四除餘2
    右式可分三種小情況
    a.兩者平方皆被四整除,則右式被四除餘1
    b.其一平方被四整除,則右式被四除餘0
    c.兩者平方被四除皆餘1,則右式被四除餘0

所以只有在三數平方皆為被四整除時方成立,再依galaxylee大大所提示方法,可知唯有皆為0時方為解。

一時忘記0也是整數了,已修正。

piny
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