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若cosx1=x2,cosx2=x3,....,cosxn=x1
試求滿足此方程組之x1,x2,...xn之解

我只能想到 |x2| = |cosx1| ≦ |x1|，

同理|x1| ≦ |xn| ≦ ... ≦ |x2| ≦ |x1|，得每一個xi的絕對值相等.

所以x1 = x2或x1 = -x2.

由圖形知必找得到唯一的正數x0使得cosx0 = x0，x1 = x2 = ... = xn = x0即為一組解.但這個x0無法求出其精確值.

若x1 = -x2，則x3 = cosx2 = cos(-x1) = x2，同理x2 = x3 = .... = xn = x1，

即x1 = x2 = 0，但與cosx1 = x2矛盾.故不可能.只有x1 = x2的解.

同理可得x1 = x2 = x3 = ... = xn，只有這一組解.

|cosx1| ≦ |x1| 未必成立
如x1=0代入即不合，因此此證法不成立

您說得沒錯，是我的錯誤><

謝謝指正^^

此題利用y=cosx及x=cosy圖形交互代入x1,x2,x3,…極易看出需x1=x2=x3=…才有解，但不易證，我的方法較複雜，僅供參考
(1)     首先證明0＜x1＜1
證明：若x1≦0或x1≧1則-1≦cosx1≦1 即-1≦x2≦1則0＜cosx2＜1
即0＜x3＜1可進而得0＜xn＜1 則0＜cosxn＜1 但x1=cosxn
所以0＜x1＜1與x1≦0或x1≧1不合
(2)     所以0＜x1＜1易推得0＜xk＜1(k=2,3,…,n)
(3)     已知cosx=x由y=cosx及y=x圖形知僅一解，令此解為x=t則cost=t
且由圖知0＜t＜π/2(透過Excel協助t≒0.739085弧度≒42.34649度)
設合乎條件之x1,x2,…,xn由(1)知0＜xk＜1(k=1,2,…,n)
設f(x)=cos(cosx)-x 且0＜x＜1 則f’(x)=-sin(cosx)*-sinx-1<0
所以若0＜x＜1則f(x)為減函數且f(t)=cos(cost)-t=cost-t=t-t=0
若x1＜t則cosx1＞cost=t　即x2=cosx1＞cost=t，x3=cosx2＜cost=t
X4=cosx3＞cost=t 可由數學歸納法得,
若n為偶數則xk＞t(k=2,4,…,n-2,n)  ……(1)
若n為奇數則xk＜t(k=1,3,…,n-2,n)  ……(2)
因f(x)為減函數，若x1＜t則f(x1)＞f(t)則cos(cosx1)-x1＞0 [因f(t)=0 ]
又x3=cosx2=cos(cosx1)所以x3-x1＞0則x3＞x1 由(2)式知可得
x3＜x5＜t 可進而推得,若n為奇數時x1＜x3＜……＜xn-2＜xn＜t ……(3)
所以cosxn＞cost=t 又x1=cosxn 所以x1＞t與x1＜t矛盾
若n為偶數時由(1)式xn＞t則cosxn＜cost=t ,又x1=cosxn=cos(cosxn-1)
因n-1為奇數 由(2)知xn-1＜t則f(xn-1) ＞f(t) ，則cos(cosxn-1)-xn-1＞0
則cos(cosxn-1) ＞ xn-1 即x1＞xn-1 由(3)式可知xn-1＞x1 所以矛盾
即x1＜t不合 同理亦可證得x1＞t時不合，因此x1=t 又x2=cosx1=cost=t
X3=cosx2=cost=t 可推得x1=x2=…=xn=t≒0.739085弧度≒42.34649度
此法複雜，應有更佳的方法吧？