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有一九位數，一至九各用一次，設為ABCDEFGHI

則A可被一整除，AB可被二整除，ABC可被三整除，...，ABCDEFGHI可被九整除。

其中ABC等為十進制表示，即100A+10B+C

有查過趣味數學裡所有的文章，應該沒有重複才是。

請問ABCDEFGHI有幾組解？要寫出證明。

我只知道一組..
381654729..

證明..正在想= =

答案就這一組沒錯，你能證其唯一嗎？

首先,
A可被1整除:A可為任何數.
AB可被2整除,則B為2.4.6.8
ABC可被3整除:A+B+C被3整除.
ABCD可被4整除,CD整除4. 所以CD=12.16.
ABCDE被5整除:E為5
ABCDEF被6整除: D+E+F被3整除且F為2.4.6.8
ABCDEFGH可被8整除,FGH可被8整除且H為2.4.6.8
ABCDEFGHI必被9整除(1+2+3+4+5+6+7+8+9=45)

所以此九位數又可寫成:
AB125FGHI或AB165FGHI.
若為前者,則B為4.6.8. F也為4.6.8 H也為4.6.8.
剩下的3和9為A或I. 若A為3,則B,F分別為4.6
所以ABCDEF為341256,而H必為8. 所以6G8被8整除.
但是這樣G只能等於4或8.
反過來,若ABCDEF為361254,則4H8整除8.但是這也不可能(請自行證明)
而ABCDEF為381254情況也是一樣.
所以,ABCDEF不為341256.
假設A為9,則9B125F為BF仍為4.6.
ABCDEF為941256,則H只能為8.
所以又是同樣的狀況.

所以ABCDEFGHI為AB165FGHI.
BFH為2.4.8.
設A為9.
則ABCDEF為9B165F, 且被3整除,所以BF為8.4.
則4H2被8整除. 但這不可能. BF為4.8.時也不可能.

若A為7. 則ABCDEF=7B165F. 但是這不可能.
所以ABCDEF=3B165F.
則BF為2.4或4.2或4.8或8.4.
當中唯一符合條件的就是:
381654, 則4H2被8整除,而H=7正好成立.
所以,ABCDEFGHI=381654729.
而且這是唯一解.

宇智波鼬 寫到:首先,
A可被1整除:A可為任何數.
AB可被2整除,則B為2.4.6.8
ABC可被3整除:A+B+C被3整除.
ABCD可被4整除,CD整除4. 所以CD=12.16.
ABCDE被5整除:E為5
ABCDEF被6整除: D+E+F被3整除且F為2.4.6.8
ABCDEFGH可被8整除,FGH可被8整除且H為2.4.6.8
ABCDEFGHI必被9整除(1+2+3+4+5+6+7+8+9=45)

所以此九位數又可寫成:
AB125FGHI或AB165FGHI.
若為前者,則B為4.6.8. F也為4.6.8 H也為4.6.8.
剩下的3和9為A或I. 若A為3,則B,F分別為4.6
所以ABCDEF為341256,而H必為8. 所以6G8被8整除.
但是這樣G只能等於4或8.
反過來,若ABCDEF為361254,則4H8整除8.但是這也不可能(請自行證明)
而ABCDEF為381254情況也是一樣.
所以,ABCDEF不為341256.
假設A為9,則9B125F為BF仍為4.6.
ABCDEF為941256,則H只能為8.
所以又是同樣的狀況.

所以ABCDEFGHI為AB165FGHI.
BFH為2.4.8.
設A為9.
則ABCDEF為9B165F, 且被3整除,所以BF為8.4.
則4H2被8整除. 但這不可能. BF為4.8.時也不可能.

若A為7. 則ABCDEF=7B165F. 但是這不可能.
所以ABCDEF=3B165F.
則BF為2.4或4.2或4.8或8.4.
當中唯一符合條件的就是:
381654, 則4H2被8整除,而H=7正好成立.
所以,ABCDEFGHI=381654729.
而且這是唯一解.

C為什麼一定等於1？

piny 寫到:

宇智波鼬 寫到:首先,
A可被1整除:A可為任何數.
AB可被2整除,則B為2.4.6.8
ABC可被3整除:A+B+C被3整除.
ABCD可被4整除,CD整除4. 所以CD=12.16.
ABCDE被5整除:E為5
ABCDEF被6整除: D+E+F被3整除且F為2.4.6.8
ABCDEFGH可被8整除,FGH可被8整除且H為2.4.6.8
ABCDEFGHI必被9整除(1+2+3+4+5+6+7+8+9=45)

所以此九位數又可寫成:
AB125FGHI或AB165FGHI.
若為前者,則B為4.6.8. F也為4.6.8 H也為4.6.8.
剩下的3和9為A或I. 若A為3,則B,F分別為4.6
所以ABCDEF為341256,而H必為8. 所以6G8被8整除.
但是這樣G只能等於4或8.
反過來,若ABCDEF為361254,則4H8整除8.但是這也不可能(請自行證明)
而ABCDEF為381254情況也是一樣.
所以,ABCDEF不為341256.
假設A為9,則9B125F為BF仍為4.6.
ABCDEF為941256,則H只能為8.
所以又是同樣的狀況.

所以ABCDEFGHI為AB165FGHI.
BFH為2.4.8.
設A為9.
則ABCDEF為9B165F, 且被3整除,所以BF為8.4.
則4H2被8整除. 但這不可能. BF為4.8.時也不可能.

若A為7. 則ABCDEF=7B165F. 但是這不可能.
所以ABCDEF=3B165F.
則BF為2.4或4.2或4.8或8.4.
當中唯一符合條件的就是:
381654, 則4H2被8整除,而H=7正好成立.
所以,ABCDEFGHI=381654729.
而且這是唯一解.

C為什麼一定等於1？

首先,C不能等於0.
第二,C若等於2,則C和D其一大於10,不和.
得証.

宇智波鼬 寫到:

piny 寫到:

宇智波鼬 寫到:首先,
A可被1整除:A可為任何數.
AB可被2整除,則B為2.4.6.8
ABC可被3整除:A+B+C被3整除.
ABCD可被4整除,CD整除4. 所以CD=12.16.
ABCDE被5整除:E為5
ABCDEF被6整除: D+E+F被3整除且F為2.4.6.8
ABCDEFGH可被8整除,FGH可被8整除且H為2.4.6.8
ABCDEFGHI必被9整除(1+2+3+4+5+6+7+8+9=45)

所以此九位數又可寫成:
AB125FGHI或AB165FGHI.
若為前者,則B為4.6.8. F也為4.6.8 H也為4.6.8.
剩下的3和9為A或I. 若A為3,則B,F分別為4.6
所以ABCDEF為341256,而H必為8. 所以6G8被8整除.
但是這樣G只能等於4或8.
反過來,若ABCDEF為361254,則4H8整除8.但是這也不可能(請自行證明)
而ABCDEF為381254情況也是一樣.
所以,ABCDEF不為341256.
假設A為9,則9B125F為BF仍為4.6.
ABCDEF為941256,則H只能為8.
所以又是同樣的狀況.

所以ABCDEFGHI為AB165FGHI.
BFH為2.4.8.
設A為9.
則ABCDEF為9B165F, 且被3整除,所以BF為8.4.
則4H2被8整除. 但這不可能. BF為4.8.時也不可能.

若A為7. 則ABCDEF=7B165F. 但是這不可能.
所以ABCDEF=3B165F.
則BF為2.4或4.2或4.8或8.4.
當中唯一符合條件的就是:
381654, 則4H2被8整除,而H=7正好成立.
所以,ABCDEFGHI=381654729.
而且這是唯一解.

C為什麼一定等於1？

首先,C不能等於0.
第二,C若等於2,則C和D其一大於10,不和.
得証.

C不為偶數我知道
可是依照現在的情況看來
CD還是有可能為32,36,52,56,72,76,92,96啊??

嗯 沒錯 我就是要說C可能等於1.3.5.7.9

所以要都討論

事實上討論出來也是唯一解，只是我在想討論的步驟上是可以有所變化的，我是先不考慮C的可能性，而先考慮F，兩邊比較過會發現步驟少很多。

piny 寫到:嗯 沒錯 我就是要說C可能等於1.3.5.7.9

所以要都討論

事實上討論出來也是唯一解，只是我在想討論的步驟上是可以有所變化的，我是先不考慮C的可能性，而先考慮F，兩邊比較過會發現步驟少很多。

嗯嗯的確,用F討論比較快.
不過,用C討論的話用同樣的方法就行了.
(只是比較不嚴謹.)

這是我很久以前寫的步驟，與大家分享

答案為３８１６５４７２９，為唯一，以下為證明。

０１．設此九位數為ＡＢＣＤＥＦＧＨＩ。
０２．因為ＡＢＣＤＥ可被五整除，故Ｅ為５。
０３．ＡＢ、ＡＢＣＤ、ＡＢＣＤＥＦ、ＡＢＣＤＥＦＧＨ
　　　分別可被二、四、六、八整除，
　　　故（Ｂ、Ｄ、Ｆ、Ｈ）為２或４或６或８，
　　　即ＢＤＦＨ四數皆為偶數，另外五數皆為奇數。
０４．ＡＢＣＤ可被四整除，故ＣＤ為四的倍數，
　　　又Ｃ為奇數，故Ｄ為２或６。
０５．同理，Ｈ為２或６。
　　　故（Ｄ、Ｈ）為２或６。
０６．ＡＢＣＤＥＦ可被六整除，
　　　又Ａ＋Ｂ＋Ｃ可被三整除，故Ｄ＋Ｅ＋Ｆ可被三整除。
０７．當Ｄ為２（Ｈ為６）時，因為Ｅ為５，故Ｆ為８（Ｆ為４時不合），
　　　此時已可確定者有Ａ４Ｃ２５８Ｇ６Ｉ．．．情況一。
０８．當Ｄ為６（Ｈ為２）時，因為Ｅ為５，故Ｆ為４（Ｆ為８時不合），
　　　此時已可確定者有Ａ８Ｃ６５４Ｇ２Ｉ．．．情況二。
０９．在情況一時，８Ｇ６需為八的倍數，故Ｇ為１或９。
１０．Ａ４Ｃ需為三的倍數，故（Ａ、Ｃ）為１或７。
１１．由０９、１０，故Ｇ為９。
１２．故在情況一時，可能符合者有以下二組
　　　１４７２５８９６３．．．（ａ）
　　　７４１２５８９６３．．．（ｂ）
１３．ａ之情況，不滿足被七整除，不成立。
　　　ｂ之情況，不滿足被七整除，不成立。
１４．在情況二時，４Ｇ２需為八的倍數，故Ｇ為３或７。
１５．Ａ８Ｃ需為三的倍數，故（Ａ、Ｃ）為１或３、１或９、３或７。
１６．故在情況二時，可能符合者有以下六組
　　　１８３６５４７２９．．．（ｃ）
　　　３８１６５４７２９．．．（ｄ）
　　　１８９６５４７２３．．．（ｅ）
　　　９８１６５４７２３．．．（ｆ）
　　　１８９６５４３２７．．．（ｇ）
　　　９８１６５４３２７．．．（ｈ）
１８．ｃｅｆｇｈ皆不滿足被七整除，故ｄ之解為正解，且唯一。

故得證。

這題之前J+W大大已經出過了,我的答案較簡單.

我先把5固定,第2,4,6,8均應為偶數,第1,3,7,9理所當然為單數,
且第3,4必為12,16,32,36,72,76,92,96
且第7,8必為16,32,72,96
故當第7,8為16,第34只能為32,72,92
故當第7,8為32,第34只能為16,36,96
故當第7,8為72,第34只能為16,36,92
故當第7,8為96,第34只能為12,32,72
只有12種變化,再注意前三碼加起來為3的倍數,答案便呼之欲出了.
這應該沒公式吧!