[數學]直角三角形問題02

[數學]直角三角形問題02

piny 於 星期四 十月 20, 2005 1:04 am


也是直角三角形問題

三邊皆為正整數且互質,則是不是剛好有一個是三的倍數、有一個是四的倍數、有一個是五的倍數?

舉幾個例子。

(207,224,305)
其中207可被三整除,另兩數不行
  224可被四整除,另兩數不行
  305可被五整除,另兩數不行

(160,231,281)
其中231可被三整除,另兩數不行
  160可被四、五整除,另兩數不行

(119,120,169)
其中120可被三、四、五整除,另兩數不行

piny
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galaxylee 於 星期四 十月 20, 2005 5:51 am


定義:若a,b,c是正整數且a^2+b^2=c^2,則稱(a,b,c)為畢氏三數組,若a,b,c互質,則(a,b,c)為基本解。

定理:設x>y,x,y互質,且為一奇數一偶數,則(x^2-y^2,2xy,x^2+y^2)為一組基本解。每一個基本解也都可表成上式。

公式中的2xy一定是4的倍數,只要再證明有3和5的倍數即可,或舉出反例。

galaxylee
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piny 於 星期四 十月 20, 2005 10:42 am


咦 不錯的公式耶,竟然有可以寫出通解的方程

但是要如何證明有三和五的倍數,到目前為止我還沒找到反例解

piny
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原來如此 於 星期二 三月 27, 2007 11:14 am


三邊皆為正整數且互質,則是不是剛好有一個是三的倍數、有一個是四的倍數、有一個是五的倍數?
 
不是吧,只要是大於1的質數,就只能被1或自身整除。
所以只要有一條邊是質數就不可能是3或4或5的倍數。
例如(5,12,13)

被真理蒙蔽雙眼的人,無法看清事實的真相

原來如此
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piny 於 星期二 三月 27, 2007 1:26 pm


原來如此 寫到:
三邊皆為正整數且互質,則是不是剛好有一個是三的倍數、有一個是四的倍數、有一個是五的倍數?
 
不是吧,只要是大於1的質數,就只能被1或自身整除。
所以只要有一條邊是質數就不可能是3或4或5的倍數。
例如(5,12,13)

您好 小弟的意思是三個數(a,b,c)中,

(a,b,c)當中只有一個是3的倍數,(a,b,c)當中只有一個是4的倍數,(a,b,c)當中只有一個是5的倍數。

如(5,12,13),則12是3的倍數,另二數不是;12是4的倍數,另二數不是;5是5的倍數,另二數不是

 

之前有整理出證明,只是忘了是否有在此論壇上發表過,在此補上

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此種證明,先證明存在,再證其唯一。
以下稱左式為a^2+b^2,右式為c^2。
 
A.證其存在。
 
1.有三的倍數?
  若(a,b,c)皆非三的倍數,則其被三除之之餘數只有兩種可能:餘一或餘二。又非三倍數之平方被三除之必餘一,故左式被三除餘二,而右式被三除餘一,矛盾。故假設不成立,故必有三的倍數。
 
2.有四的倍數?
  先介紹一個定理,任可畢氏組皆可表為(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)。先證此定理成立。很顯然地,(a,b,c)必兩兩互質,因為若其任兩數有大於一之公因數,則等式痤奶U,第三數必有可被其因數除之,則此組即不為畢氏組。
 
  再來考慮(a,b,c)之奇偶性。
 
  情況一:a,b同為奇數,則c為偶數。因為奇數平方被四除必餘一,而偶數平方必可被四整除,故此時左式被四除餘二,而右式可被四整除,矛盾,故情況一不成立。
  
  情況二:a,b同為偶數。則a,b必不互質,因其至少有二可為公因數,矛盾,故情況二不成立。
 
  因此情況三不必討論下必為唯一合理情況,在不失一般性假設下,可令b為偶數,則我們可知c-a,c+a之最大公因數為二,證明此略(可從ac皆為奇數討論即可),又b^2=(c+a)(c-a),故可令c+a=2m^2,c-a=2n^2,此時解之即為上述通解。

  故由此定理可知2mn必為畢氏組之某項,又m,n互質且一奇一偶,故2mn必可被四整除。

 

3.有五的倍數?
  若(a,b,c)皆非五的倍數,則其被五除之之餘數只有四種可能:餘一或餘二或餘三或餘四。則其平方被五除之之餘數只有兩種可能,餘一或餘四。

  故其餘數可能組合有六種:


  (餘一,餘一,餘四)、(餘一,餘一,餘一)、
  (餘一,餘四,餘四)、(餘一,餘四,餘一)、
  (餘四,餘四,餘四)、(餘四,餘四,餘一)。


  又等式兩邊同除某數,其餘數必相同,故可知此六種組合皆不存在,矛盾。故假設不成立,故必有五的倍數。

 

B.證其唯一。
 
  由A之1,2,3,可證其存在倍數,若非唯一,則此必不為畢氏組,理由已前述,故為唯一。
 
由A,B,故命題成立。

 


piny
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