[數學]直角三角形問題

[數學]直角三角形問題

piny 於 星期日 十月 16, 2005 6:08 pm


大家好,我是新人piny,與大家分享一題我想好幾年的問題:

有一個三邊為整數且互質的直角三角形,三邊為(A,B,C)且 A < B < C,並假設 C - B = K 。

我認為當 K為M的平方乘上二的N次方,M、N皆為奇數)時,琣s在無限多組解,並可寫出通解(即一般式)。這個理論是我猜想出來的。

茲舉兩例
K = 3200時,即五的平方乘上二的七次方,經過試算,
其最小解為(7760,7809,11009),通解在此先略。(通解我寫的出來,以下同)

K = 100352時,即七的平方乘上二的十一次方,經過試算,
其最小解為(242368,242505,342857),通解在此先略。

想請問一下可以證出來嗎?並寫出一般解。

piny
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piny 於 星期日 十一月 20, 2005 12:11 pm


小弟的猜想。以下不確定為猜想部份會以紅色字体表明。

先參考下列數列:
3,4,5
5,12,13
7,24,25
9,40,41
11,60,61
13,84,85
15,112,113
17,144,145
19,180,181
21,220,221
23,264,265
25,312,313
27,364,365
29,420,421
...

將其令為(a,b,c),則我們可發現,c-b=1,且c-a=(m^2).(2^n)=k,m、n為奇數,並依大小依序出現,小弟有檢測到很大的數字,發現皆還吻合,因此我就猜想,是不是所有畢氏組都可表為c-b為(m^2).(2^n),m、n為奇數,且c-a為奇數平方,閒來無事,進而猜想若c-b為(m^2).(2^n),m、n為奇數,當m、n為固定值時,可視此為同一類組,而其組距猜想為m.2^〔(n+3)/2〕,舉例如下:

當m=1,n=1,k=2,組距為4
當m=1,n=3,k=8,組距為8
當m=3,n=1,k=18,組距為12
當m=1,n=5,k=32,組距為16
當m=5,n=1,k=50,組距為20
當m=3,n=3,k=72,組距為24
...

以m=5,n=1,k=50,組距為20為例,可發現(11,60,61)之相同組(60,11,61)為一解,將組距代回
則以下皆為c-b=k之同組
60,11,61
80,x-50,x
...

解出x,即可知c-b=50之第二小解,小弟猜想其符合下列規則,即若(a,b,c)已知,且c-b=k,則c為(a^2+k^2)/2*k,代回上式可知x=(80^2+50^2)/100,x為89,故(80,39,89)為另一符合條件之解,且可發現b愈來愈大,因此依同理可知必有一值恰為大於a之整數值b,如上題為
60,11,61
80,39,89
100,75,125
120,119,169
140,171,221
160,231,281
180,299,349
200,375,425
220,459,509
240,551,601
260,651,701
280,759,809
300,875,925
...

故可知(a,b,c)之畢氏組,若c-b為50時,且a<b<c,則其最小解為(140,171,221)

值得注意的事,寫通解時可發現每隔m個,則會出現三數皆被m整除,故通解需再扣掉m的倍數

以同樣方法找出之前所提的問題,並寫出小弟認為的通解:

1.m=5,n=7,此時k為3200,且組距為160,
  而k為3200時之最小相同組為(3280,81,3281)。
  找出上述最小相同組沒別方法,
  因為它會依k值大小依序出現在(3,4,5)(5,12,13)的數列中,
  再先將a,b值調換一下而已...
  再來依小弟猜想可知第二小解為(3440.249.3449)
  同理可找出(7760,7809,11009)為符合題意之最小解
  至於通解表示至少有兩種,上述皆提過,小弟寫出其中一種表達式
  (a,b,c)其中
  a=7760+160k
  b=c-3200
  c=(a^2+10240000)/6400,k為除以5不為餘數4的正整數

2.(a,b,c)其中
  a=242368+896k
  b=c-100352
  c=(a^2+10070523904)/200704,k為除以7不為餘數6的正整數

不知有沒有想漏,煩請各位大大檢查看看小弟的推理囉 ^_^

piny
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