[問題]Prove

[問題]Prove

訪客 於 星期日 十月 09, 2005 6:43 pm


Given that : a1=7, an=7^a(n-1))
prove that for any m,n greater or equal to 2,
am-an is divisible by 20

訪客

 

galaxylee 於 星期日 十月 09, 2005 7:22 pm


a1=7,a2=7^7,a3=7^(7^7),a4=7^(7^(7^7)),...
不管如何,an一定是以7為底且次數為奇數
因為7≡-1(mod 4),7^2≡(-1)^2≡1(mod 4),7^3≡-1(mod 4),....
所以7的奇數次方,用4除餘3,7的偶數次方用4除餘1
對於m,n≧2,一定存在a,b是自然數,am=7^(4a+3),an=7^(4b+3)
am-an
=7^(4a+3)-7^(4b+3)
=7^3[(7^4)^a-(7^4)^b]
因為7^4用100除餘1,所以(7^4)^a-(7^4)^b是100的倍數
即am-an是100的倍數,當然是20的倍數

galaxylee
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訪客 於 星期日 十月 09, 2005 7:42 pm


如何用數學歸納法計算..

訪客

 

galaxylee 於 星期日 十月 09, 2005 8:02 pm


Anonymous 寫到:如何用數學歸納法計算..

用數學歸納法,沒試過,不過應該不容易
因為有兩個變數,可能需要先證固定m時,對任意n>=2都成立,再證對任意m>=2亦成立

galaxylee
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