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證明：
當n為奇數時
1^n+2^n+3^n+.....+n^n
能被(1+2+3+4+5+....+n)整除

n為奇數,(n+1)/2為整數
(1^n+n^n)+[2^n+(n-1)^2]+....+{[(n-1)/2]^n+[(n+3)/2]^n}+[(n+1)/2]^n
=(n+1)*f(n)+[(n+1)/2]^n
=[(n+1)/2]*{2f(n)+[(n+1)/2]^n-1}為(n+1)/2之倍數..........(1)

[1^n+(n-1)^n]+[2^n+(n-1)^2]+....+{[(n-1)/2]^n+[(n+1)/2]^n}+n^n
=n*g(n)+n^n
=n*[g(n)+n^(n-1)]為n之倍數..........................(2)

令n=2k+1
((n+1)/2,n)=(k+1,2k+1)=(2k+1,k+1)=(k+1,-1)=1
所以(n+1)/2與n互質..............(3)

由(1)(2)(3)知1^n+2^n+........+n^n為[n*(n+1)]/2之倍數
                 1^n+2^n+........+n^n為(1+2+3+.........+n)之倍數得證

1+2+3+.........+n=[n*(n+1)]/2