[問題]無理根成對

[問題]無理根成對

qeypour 於 星期六 十月 01, 2005 10:30 am


f(x)為有理係數n次多項式,n>=2
a,b,c為有理數,sqrt(c)為正無理數
試證
若a+b*sqrt(c)為f(x)=0之一根,則a-b*sqrt(c)為f(x)=0之另一根

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galaxylee 於 星期六 十月 01, 2005 11:12 am


很容易可以證明下面命題:
a,b,c是有理數,√c 是無理數,若f(x)是有理係數多項式,且f(a+b√c )=M+N√c
則 f(a-b√c )=M-N√c

推論:若f(a+b√c )=0,則f(a-b√c )=0,即若a+b√c是f(x)=0的根,則a-b√c也是f(x)=0的根

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qeypour 於 星期六 十月 01, 2005 11:17 am


galaxylee 寫到:很容易可以證明下面命題:
a,b,c是有理數,√c 是無理數,若f(x)是有理係數多項式,且f(a+b√c )=M+N√c
則 f(a-b√c )=M-N√c
推論:若f(a+b√c )=0,則f(a-b√c )=0,即若a+b√c是f(x)=0的根,則a-b√c也是f(x)=0的根


請問galaxylee兄是否用二項式定理證紅色部份?

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Re: [問題]無理根成對

chanjunhong 於 星期六 十月 01, 2005 11:08 pm


qeypour 寫到:f(x)為有理係數n次多項式,n>=2
a,b,c為有理數,sqrt(c)為正無理數
試證
若a+b*sqrt(c)為f(x)=0之一根,則a-b*sqrt(c)為f(x)=0之另一根


完整的證明,請翻書!!
比較特殊的,我假設在二次多項式的問題說明,三次以上需考量更多細節。
把你的問題改成比較好做一點,
你的問題是有理係數,f(x),將f(x)乘上所有係數分母的最小公倍數,所得的函數,並不會改變原函數的的根值,而所得的函數,其係數為整係數的多項式。(degree = 2)
若a+b*sqrt(c)為f(x)=0之一根,則a-b*sqrt(c)為f(x)=0之另一根

(平方整理後)

(帶入)
(即為你所求)
要說明更高次的問題,需要(1)H(x) 是唯一   (2)H(x) 是f(x)的因式。
想要更詳細,或更完整建議你可翻代數學。

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galaxylee 於 星期六 十月 01, 2005 11:32 pm


qeypour 寫到:
galaxylee 寫到:很容易可以證明下面命題:
a,b,c是有理數,√c 是無理數,若f(x)是有理係數多項式,且f(a+b√c )=M+N√c
則 f(a-b√c )=M-N√c
推論:若f(a+b√c )=0,則f(a-b√c )=0,即若a+b√c是f(x)=0的根,則a-b√c也是f(x)=0的根


請問galaxylee兄是否用二項式定理證紅色部份?


沒錯!用二項式定理及數學歸納法(若要嚴格的話)就可以證明
例如:若(1+√3)^n=M+N√3,則(1-√3)^n=M-N√3

galaxylee
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