[代數]幾題題目

[代數]幾題題目

宇智波鼬 於 星期二 九月 27, 2005 7:34 pm


1.求證:形如的個位數一定是7.(n>1)

2.證明:如果一個數能被16整除,並且十位數字是偶數.那麼這個數的個位數字加十位數字的兩倍加百位數字的四倍加千位數字的八倍,能被16整除. 並且反過來也是一樣.

3.把1.2.3...1993這1993個數,每個數的前面任意添上正號或負號,問所得的和是奇數還是偶數?

4.從1.2.3.4.....1993 這些數中挑選出一些數,使得其中沒有兩數之和可被他們的差整除,這些數最多可以選多少個?

5.是否存在4個整數a.b.c.d,同時滿足4個等式:
abcd-a=1993
abcd-b=19931993
abcd-c=199319931993
abcd-d=1993199319931993.
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宇智波鼬

 
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Re: [代數]幾題題目

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期二 九月 27, 2005 7:53 pm


宇智波鼬 寫到:2.證明:如果一個數能被16整除,並且十位數字是偶數.那麼這個數的個位數字加十位數字的兩倍加百位數字的四倍加千位數字的八倍,能被16整除. 並且反過來也是一樣.



1000a+100b+10c+d
=(992a+96b+8c)+8a+4b+2c+d
因(992a+96b+8c)為16的倍數(c為偶數故*8就為16的倍數)
所以8a+4b+2c+d為16的倍數
因此得證

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Re: [代數]幾題題目

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期二 九月 27, 2005 7:57 pm


宇智波鼬 寫到:

3.把1.2.3...1993這1993個數,每個數的前面任意添上正號或負號,問所得的和是奇數還是偶數?


1993個數中
偶數可以省略不談
奇數則有
(1993-1)/2+1=997
共997個
為奇數
故所得的和是奇數

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Re: [代數]幾題題目

lcflcflcf 於 星期二 九月 27, 2005 8:26 pm


宇智波鼬 寫到:1.求證:形如的個位數一定是7.(n>1)



4^2=16
任何個位數為6的數乘以4的個位數也是6
所以4^n+1後個位數必為7
人人為我 我為人人
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Re: [代數]幾題題目

lcflcflcf 於 星期二 九月 27, 2005 8:34 pm


宇智波鼬 寫到:3.把1.2.3...1993這1993個數,每個數的前面任意添上正號或負號,問所得的和是奇數還是偶數?

將所有數前全用加號
得奇數
a+b與a-b的差為2b
即不論將任一加號改為負號
兩數的差為偶數
也表示奇偶性不變
所以不論於每個數前加上正號或負號
總和也是奇數
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lcflcflcf 於 星期二 九月 27, 2005 8:50 pm


5)1993=abcd+a=a(bcd+1)=1993*1
a=1,bcd=1992
1992=abcd>abcd-b=19931993
矛盾
所以沒有4個整數a.b.c.d同時滿足那四個等式
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宇智波鼬 於 星期二 九月 27, 2005 8:57 pm


lcflcflcf 寫到:5)1993=abcd+a=a(bcd+1)=1993*1
a=1,bcd=1992
1992=abcd>abcd-b=19931993
矛盾
所以沒有4個整數a.b.c.d同時滿足那四個等式


你的解答簡短有力,應該是正確答案.
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Re: [代數]幾題題目

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期二 九月 27, 2005 10:50 pm


lcflcflcf 寫到:
宇智波鼬 寫到:1.求證:形如的個位數一定是7.(n>1)



4^2=16
任何個位數為6的數乘以4的個位數也是6
所以4^n+1後個位數必為7


不知道是不是我理解錯誤
我總覺得這句話怪怪的
6*4不是24!?尾數是4..??
4^n+1..n帶3不是為63!?

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Re: [代數]幾題題目

宇智波鼬 於 星期二 九月 27, 2005 10:57 pm


☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 寫到:
lcflcflcf 寫到:
宇智波鼬 寫到:1.求證:形如的個位數一定是7.(n>1)



4^2=16
任何個位數為6的數乘以4的個位數也是6
所以4^n+1後個位數必為7


不知道是不是我理解錯誤
我總覺得這句話怪怪的
6*4不是24!?尾數是4..??
4^n+1..n帶3不是為63!?


其實這堤應該這樣講.
如果n大於1. 則2^n 必為4的倍數.
而按照規律2^4n尾數為6.
6+1=7

之所以會怪是因為 2^n必須先算,再算整個數字.
如n=3 則
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宇智波鼬

 
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Re: [代數]幾題題目

lcflcflcf 於 星期二 九月 27, 2005 11:04 pm


宇智波鼬 寫到:
☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 寫到:
lcflcflcf 寫到:
宇智波鼬 寫到:1.求證:形如的個位數一定是7.(n>1)



4^2=16
任何個位數為6的數乘以4的個位數也是6
所以4^n+1後個位數必為7


不知道是不是我理解錯誤
我總覺得這句話怪怪的
6*4不是24!?尾數是4..??
4^n+1..n帶3不是為63!?


其實這堤應該這樣講.
如果n大於1. 則2^n 必為4的倍數.
而按照規律2^4n尾數為6.
6+1=7

之所以會怪是因為 2^n必須先算,再算整個數字.
如n=3 則


我知我錯在那兒
(2^2)^n≠2^(2^n)
這簡單的定律我竟忘記了...
    
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Re: [代數]幾題題目

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期三 九月 28, 2005 6:24 pm


宇智波鼬 寫到:
4.從1.2.3.4.....1993 這些數中挑選出一些數,使得其中沒有兩數之和可被他們的差整除,這些數最多可以選多少個?



可選1,4,7,10,.....
所以(1993-1)/3+1=665

665個

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Re: [代數]幾題題目

lcflcflcf 於 星期三 九月 28, 2005 6:43 pm


☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 寫到:
宇智波鼬 寫到:
4.從1.2.3.4.....1993 這些數中挑選出一些數,使得其中沒有兩數之和可被他們的差整除,這些數最多可以選多少個?



可選1,4,7,10,.....
所以(1993-1)/3+1=665

665個

看漏了一題...
讓我解釋一下

首先,若每兩個相鄰的數差二
和與差都是二的倍數
所以不合
接著就是每兩個相鄰的數差三
每兩個數的差為3k
而每兩個數的和為3m+2
和不能被差整除
所以合題目的要求

不知幻星是否這樣想的?
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☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期三 九月 28, 2005 8:21 pm


嗯嗯..這樣每個數的差距最小
可以選較多個

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