[數學]數學題..(25)

[數學]數學題..(25)

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期日 九月 25, 2005 4:39 pm


求證:
11 , 111 , 1111 , 11111 , ...... , 11...1(n個) , ...
中沒有平方數

☆ ~ 幻 星 ~ ☆
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galaxylee 於 星期日 九月 25, 2005 5:01 pm


因為11....1(n個)是奇數
所以若11....1(n個)是完全平方數,必為某奇數之平方
但奇數之平方用4除餘1(因為(2k+1)^2=4k^2+4k+1)
11...1(n個)
=11...100(n位數)+11
100是4的倍數,11用4除餘3
所以11...1(n個)用4除餘3,不是用4除餘1
所以11...1(n個)不是完全平方數


註:22...2(n個),33...3(n個),.....,99...9(n個),這些數都不是完全平方數

galaxylee
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piny 於 星期日 十月 30, 2005 1:36 am


平方數末兩位僅有二十二種
分別為
00
01,21,41,61,81
04,24,44,64,84
25
16,36,56,76,96
09,29,49,69,89

證明:
(25+x)^2-(25-x)^2=100x,所以(25+x),(25-x)其平方數末兩位相同,故僅需檢查1∼25的平方數即可


所以未存在末兩位為11之平方數,得證

piny
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GFIF 於 星期日 十月 30, 2005 11:56 pm


設11...1(n個1)是平方數
因為11...1(n個1)是奇數,所以用8除必餘1
11...1000≡0(mod8)
111≡7(mod8)
所以11...1(n個1)用8除於7與用8除必餘1矛盾
所以11 , 111 , 1111 , 11111 , ...... , 11...1(n個) , ... 中沒有平方數
故得證

GFIF
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piny 於 星期一 十月 31, 2005 12:12 am


GFIF 寫到:設11...1(n個1)是平方數
因為11...1(n個1)的開平方是奇數,所以用8除必餘1
11...1000≡0(mod8)
111≡7(mod8)
所以11...1(n個1)用8除於7與用8除必餘1矛盾
所以11 , 111 , 1111 , 11111 , ...... , 11...1(n個) , ... 中沒有平方數
故得證


應加上紅色字方為完整

piny
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