[挑戰]正整數變正偶數

[挑戰]正整數變正偶數

宇智波鼬 於 星期五 九月 23, 2005 10:49 pm


兩個連續正整數的乘積是否可以表示為兩個連續正偶數的乘積?
並且證明你的結論.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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lcflcflcf 於 星期六 九月 24, 2005 8:53 am


設兩個連續正整數為m及m+1,積為m^2+m
兩個連續正偶數為n及n+2,積為n^2+2n
m^2+m=n^2+2n
可見m>n
m^2-n^2=2n-m
(m+n)(m-n)=n-(m-n)
(m+n+1)(m-n)=n
m-n>=1
m+n+1>n
所以矛盾
所以不存在兩個連續正整數的乘積是否可以表示為兩個連續正偶數的乘積

我總覺得我這樣解有點兒怪
人人為我 我為人人
~就讓一切隨風~

lcflcflcf
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宇智波鼬 於 星期六 九月 24, 2005 10:02 am


lcflcflcf 寫到:設兩個連續正整數為m及m+1,積為m^2+m
兩個連續正偶數為n及n+2,積為n^2+2n
m^2+m=n^2+2n
可見m>n
m^2-n^2=2n-m
(m+n)(m-n)=n-(m-n)
(m+n+1)(m-n)=n
m-n>=1
m+n+1>n
所以矛盾
所以不存在兩個連續正整數的乘積是否可以表示為兩個連續正偶數的乘積

我總覺得我這樣解有點兒怪


我看不出你的解法有哪裡怪..
不過證明這題有個更漂亮的解法,只要一個式子就證明了.(真不知道那個人是怎麼想的...)
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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lcflcflcf 於 星期六 九月 24, 2005 10:07 am


宇智波鼬 寫到:
lcflcflcf 寫到:設兩個連續正整數為m及m+1,積為m^2+m
兩個連續正偶數為n及n+2,積為n^2+2n
m^2+m=n^2+2n
可見m>n
m^2-n^2=2n-m
(m+n)(m-n)=n-(m-n)
(m+n+1)(m-n)=n
m-n>=1
m+n+1>n
所以矛盾
所以不存在兩個連續正整數的乘積是否可以表示為兩個連續正偶數的乘積

我總覺得我這樣解有點兒怪


我看不出你的解法有哪裡怪..
不過證明這題有個更漂亮的解法,只要一個式子就證明了.(真不知道那個人是怎麼想的...)

覺得怪只是我覺得
但我不知為何我會覺得怪...

好奇問問
"那個人"是誰?~~
人人為我 我為人人
~就讓一切隨風~

lcflcflcf
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宇智波鼬 於 星期六 九月 24, 2005 10:11 am


lcflcflcf 寫到:
宇智波鼬 寫到:
lcflcflcf 寫到:設兩個連續正整數為m及m+1,積為m^2+m
兩個連續正偶數為n及n+2,積為n^2+2n
m^2+m=n^2+2n
可見m>n
m^2-n^2=2n-m
(m+n)(m-n)=n-(m-n)
(m+n+1)(m-n)=n
m-n>=1
m+n+1>n
所以矛盾
所以不存在兩個連續正整數的乘積是否可以表示為兩個連續正偶數的乘積

我總覺得我這樣解有點兒怪


我看不出你的解法有哪裡怪..
不過證明這題有個更漂亮的解法,只要一個式子就證明了.(真不知道那個人是怎麼想的...)

覺得怪只是我覺得
但我不知為何我會覺得怪...

好奇問問
"那個人"是誰?~~


"那個人"是"解答"(應該說是某個數學家)...
你可以試試想出這個只需要一個式子的妙解.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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宇智波鼬 於 星期六 九月 24, 2005 10:13 am


追加一題:

設a、b、c、d 都是正整數,且滿足ad-bc>1 ,試證a、b、c、d四個數中至少有一個數不能被ad-bc除盡。
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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N.T.T.F 於 星期六 九月 24, 2005 10:17 am


猜一下...
兩個連續正整數的乘積=奇數
兩個連續正偶數的乘積=偶數

so...不能吧

N.T.T.F
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宇智波鼬 於 星期六 九月 24, 2005 10:19 am


果然是猜的:
5*6=30 5和6是連續正整數...
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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lcflcflcf 於 星期六 九月 24, 2005 10:22 am


N.T.T.F 寫到:猜一下...
兩個連續正整數的乘積=奇數
兩個連續正偶數的乘積=偶數

so...不能吧

兩個連續正整數=一奇一偶
乘積當然是偶
你真的是猜...
人人為我 我為人人
~就讓一切隨風~

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galaxylee 於 星期六 九月 24, 2005 2:30 pm


題目:設a、b、c、d 都是正整數,且滿足ad-bc>1 ,試證a、b、c、d四個數中至少有一個數不能被ad-bc除盡。

證明:
假設a、b、c、d四個數都可被ad-bc除盡
(ad-bc)/a = d-(bc/a) 是整數,bc/a是整數,a是bc的因數...(1)
(ad-bc)/b = (ad/b)-c 是整數,b是ad的因數......(2)
(ad-bc)/c = (ad/c)-b 是整數,c是ad的因數.......(3)
(ad-bc)/d = a-(bc/d) 是整數,d是bc的因數.......(4)
由(1),(4),ad是bc的因數,由(2),(3),bc是ad的因數
所以ad=bc,ad-bc=0和已知條件ad-bc>1矛盾
因此a、b、c、d四個數中至少有一個數不能被ad-bc除盡

galaxylee
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s751343 於 星期六 九月 24, 2005 2:38 pm


宇智波鼬 寫到:
lcflcflcf 寫到:
宇智波鼬 寫到:
lcflcflcf 寫到:設兩個連續正整數為m及m+1,積為m^2+m
兩個連續正偶數為n及n+2,積為n^2+2n
m^2+m=n^2+2n
可見m>n
m^2-n^2=2n-m
(m+n)(m-n)=n-(m-n)
(m+n+1)(m-n)=n
m-n>=1
m+n+1>n
所以矛盾
所以不存在兩個連續正整數的乘積是否可以表示為兩個連續正偶數的乘積

我總覺得我這樣解有點兒怪


我看不出你的解法有哪裡怪..
不過證明這題有個更漂亮的解法,只要一個式子就證明了.(真不知道那個人是怎麼想的...)

覺得怪只是我覺得
但我不知為何我會覺得怪...

好奇問問
"那個人"是誰?~~


"那個人"是"解答"(應該說是某個數學家)...
你可以試試想出這個只需要一個式子的妙解.

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lcflcflcf 於 星期六 九月 24, 2005 4:20 pm


galaxylee 寫到:題目:設a、b、c、d 都是正整數,且滿足ad-bc>1 ,試證a、b、c、d四個數中至少有一個數不能被ad-bc除盡。

證明:
假設a、b、c、d四個數都可被ad-bc除盡
(ad-bc)/a = d-(bc/a) 是整數,bc/a是整數,a是bc的因數...(1)
(ad-bc)/b = (ad/b)-c 是整數,b是ad的因數......(2)
(ad-bc)/c = (ad/c)-b 是整數,c是ad的因數.......(3)
(ad-bc)/d = a-(bc/d) 是整數,d是bc的因數.......(4)
由(1),(4),ad是bc的因數,由(2),(3),bc是ad的因數
所以ad=bc,ad-bc=0和已知條件ad-bc>1矛盾
因此a、b、c、d四個數中至少有一個數不能被ad-bc除盡


若a=105,d=6,bc=210
105|210,∴a|bc
6|210,∴d|bc
ad=1260
bc=210
所以ad不一定是bc的因數
頂多說(a,d)|bc
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qeypour 於 星期六 九月 24, 2005 7:46 pm


(兩連續整數乘積)/(另兩連續整數乘積)不可能為4
所以不會有兩連續整數乘積等於兩連續偶數乘積

請問是紅字這句話嗎?

qeypour
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qeypour 於 星期日 九月 25, 2005 1:55 pm


宇智波鼬 寫到:
lcflcflcf 寫到:設兩個連續正整數為m及m+1,積為m^2+m
兩個連續正偶數為n及n+2,積為n^2+2n
m^2+m=n^2+2n
可見m>n
m^2-n^2=2n-m
(m+n)(m-n)=n-(m-n)
(m+n+1)(m-n)=n
m-n>=1
m+n+1>n
所以矛盾
所以不存在兩個連續正整數的乘積是否可以表示為兩個連續正偶數的乘積

我總覺得我這樣解有點兒怪


我看不出你的解法有哪裡怪..
不過證明這題有個更漂亮的解法,只要一個式子就證明了.(真不知道那個人是怎麼想的...)


可否公佈一個式子的漂亮解法呢?
我想學習

qeypour
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宇智波鼬 於 星期日 九月 25, 2005 10:09 pm


qeypour 寫到:
宇智波鼬 寫到:
lcflcflcf 寫到:設兩個連續正整數為m及m+1,積為m^2+m
兩個連續正偶數為n及n+2,積為n^2+2n
m^2+m=n^2+2n
可見m>n
m^2-n^2=2n-m
(m+n)(m-n)=n-(m-n)
(m+n+1)(m-n)=n
m-n>=1
m+n+1>n
所以矛盾
所以不存在兩個連續正整數的乘積是否可以表示為兩個連續正偶數的乘積

我總覺得我這樣解有點兒怪


我看不出你的解法有哪裡怪..
不過證明這題有個更漂亮的解法,只要一個式子就證明了.(真不知道那個人是怎麼想的...)


可否公佈一個式子的漂亮解法呢?
我想學習


請您再等一天,9/26晚上公佈. 期待這段期間會有人解出...
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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galaxylee 於 星期一 九月 26, 2005 1:32 am


要一個式子就解決,其實很簡單,但要先瞭解底下的一個敘述
假設連續正整數為5,6
若2個連續偶數大於等於6,乘積一定比5*6=30大
若2個連續偶數小於等於5,乘積一定比30小
那麼只能選4,6了,但4*6≠5*6,辦不到

本題證明:
n為偶數時,n(n+2)≠(n+1)(n+2)
n為奇數時,(n+1)(n+3)≠(n+1)(n+2)
所以兩連續正整數乘積無法用兩連續偶數乘積來表示

galaxylee
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galaxylee 於 星期一 九月 26, 2005 2:01 am


再提供一個我的另一種方法
原命題可看成「 a(a+1)=2b(2b+2) 是否有a,b的正整數解」
原式:a^2+a=4b^2+4b
a^2<a^2+a+1=4b^2+4b+1=(2b+1)^2<a^2+2a+1=(a+1)^2
a^2和(a+1)^2之間不可能有任何正整數的平方,a,b無正整數解
所以兩個連續正整數的乘積無法表示為兩個連續正偶數的乘積

galaxylee
副教授
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galaxylee 於 星期一 九月 26, 2005 10:18 am


lcflcflcf 寫到:設兩個連續正整數為m及m+1,積為m^2+m
兩個連續正偶數為n及n+2,積為n^2+2n
m^2+m=n^2+2n
可見m>n
m^2-n^2=2n-m
(m+n)(m-n)=n-(m-n)
(m+n+1)(m-n)=n
m-n>=1
m+n+1>n
所以矛盾
所以不存在兩個連續正整數的乘積是否可以表示為兩個連續正偶數的乘積

我總覺得我這樣解有點兒怪


紅色部分是有些問題
兩連續偶數的一般表示法為2n,2n+2
n,n+2的表示法不是對任意正整數n都是連續偶數(如1,1+2)

galaxylee
副教授
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宇智波鼬 於 星期一 九月 26, 2005 7:39 pm


galaxylee 寫到:再提供一個我的另一種方法
原命題可看成「 a(a+1)=2b(2b+2) 是否有a,b的正整數解」
原式:a^2+a=4b^2+4b
a^2<a^2+a+1=4b^2+4b+1=(2b+1)^2<a^2+2a+1=(a+1)^2
a^2和(a+1)^2之間不可能有任何正整數的平方,a,b無正整數解
所以兩個連續正整數的乘積無法表示為兩個連續正偶數的乘積


  不愧是galaxylee!
你的答案就是最簡單的方法! 我就知道會有人解出來!.....
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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Re: [挑戰]正整數變正偶數

chanjunhong 於 星期二 九月 27, 2005 9:30 am


宇智波鼬 寫到:兩個連續正整數的乘積是否可以表示為兩個連續正偶數的乘積?
並且證明你的結論.


推論是不行的:如果一個式子要完成,我想我也很期待你的文章

假設可以這可以分別表示




矛盾,所以前提的假設是不成立。

chanjunhong
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實習生
 
文章: 93
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代數學