[數學]數學題..(15)

[數學]數學題..(15)

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期一 九月 19, 2005 11:01 pm


以知存在正整數n
能使11111111......1111(n個)被1987整除

求證:
p=11111...111(n個)99.....99(n個)88....88(n個)77...77(n個)

q=11111...111(n+1個)99.....99(n+1個)88....88(n+1個)77...77(n+1個)
都能被1987整除

☆ ~ 幻 星 ~ ☆
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galaxylee 於 星期二 九月 20, 2005 12:54 am


(1)
1...1(n個)9...9 (n個)8...8 (n個)7...7(n個)
=1...1(n個)*10^3n+9...9(n個)*10^2n+8...8(n個)*10^n+7...7(n個)
1...1(n個),9...9(n個),8...8(n個),7...7(n個)皆為1...1(n個)之倍數,所以亦為1987之倍數,得證

(2)
1...1(n+1個)9...9 (n+1個)8...8 (n+1個)7...7(n+1個)
=(1...10(n個1)+1)*10^3(n+1)+(9...90(n個9)+9)*10^2(n+1)+(8...80(n個8)+8)*10^(n+1)+(7...70(n個7)+7)
=10[1...1(n個)*10^3(n+1)+9...9(n個)*10^2(n+1)+8...8(n個)*10^(n+1)+7...7(n個)]+[1*10^3(n+1)+9*10^2(n+1)+8*10^(n+1)+7]

其中10[1...1(n個)*10^3(n+1)+9...9(n個)*10^2(n+1)+8...8(n個)*10^(n+1)+7...7(n個)] 是1987的倍數

1*10^3(n+1)+9*10^2(n+1)+8*10^(n+1)+7
=1000*[10^(3n)-1]+900*[10^(2n)-1]+80*[10^(n)-1]+(1000+900+80+7)...(*)
10^(3n)-1,10^(2n)-1,10^(n)-1皆為1...1(n個)的倍數,當然為1987的倍數
所以(*)為1987的倍數

galaxylee
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qeypour 於 星期二 九月 20, 2005 7:32 pm


11111.......1(n個1)=A,則10^n-1=999......9(n個9)=0(modA)
所以10^n=1(modA)
10^kn=1(modA)


(2)4n+4位數=10*A*10^(3n+3)+1*10^(3n+3)+90*A*10^(2n+2)
+9*10^(2n+2)+80*A*10^(n+1)+8*10^(n+1)+70*A+7
=1000*10^3n+900*10^2n+80*10^n+7
=1000*1+900*1+80*1+7
=1987(modA)
=0(mod1987)  因為已知A為1987之倍數
得證

qeypour
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代數學