[問題]最小值

[問題]最小值

qeypour 於 星期六 九月 10, 2005 9:25 am


a,b都是正數,2/a+3/b=1,求a^2+b^2之最小值?

qeypour
大 師
大 師
 
文章: 431
註冊時間: 2005-07-23

N.T.T.F 於 星期六 九月 10, 2005 7:18 pm


97嗎?

N.T.T.F
初學者
初學者
 
文章: 32
註冊時間: 2005-08-03
來自: 易強的魔爪

qeypour 於 星期六 九月 10, 2005 7:23 pm


N.T.T.F 寫到:97嗎?


應該不是
取a=4,b=6得到52就比97小了

qeypour
大 師
大 師
 
文章: 431
註冊時間: 2005-07-23

Re: [問題]最小值

qeypour 於 星期日 九月 11, 2005 1:32 pm


qeypour 寫到:a,b都是正數,2/a+3/b=1,求a^2+b^2之最小值?


這題要徵求微積分及Lagrange multiplier以外的方法

qeypour
大 師
大 師
 
文章: 431
註冊時間: 2005-07-23

galaxylee 於 星期一 九月 12, 2005 2:25 am


先確認答案
當a=2+(18的三次方根),b=3+(12的三次方根) 時
a^2+b^2有最小值 [2+(18的三次方根)]^2+[3+(12的三次方根)]^2

galaxylee
副教授
副教授
 
文章: 555
註冊時間: 2005-07-18

qeypour 於 星期一 九月 12, 2005 6:55 pm


galaxylee 寫到:先確認答案
當a=2+(18的三次方根),b=3+(12的三次方根) 時
a^2+b^2有最小值 [2+(18的三次方根)]^2+[3+(12的三次方根)]^2



答案是對的
請教解法

qeypour
大 師
大 師
 
文章: 431
註冊時間: 2005-07-23

galaxylee 於 星期一 九月 12, 2005 7:00 pm


左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

galaxylee
副教授
副教授
 
文章: 555
註冊時間: 2005-07-18

qeypour 於 星期一 九月 12, 2005 7:18 pm


galaxylee 寫到:左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖


謝謝galaxylee兄的解法
用了兩次柯西不等式
關鍵在等號成立
不過小弟有一疑問
是否等號成立就保證有極值?

像這個題目
x^2+y^2=1,x,y都是實數
求5x+2y之最小值
利用柯西不等式(x^2+4y^2)(5^2+1^2)>=(5x+2y)^2
等號成立5x+2y有極值
此時x/5=2y/1代入x^2+y^2=1求得x=+ -10/sqrt(101)
進一步得5x+2y最小值為-52/sqrt(101)
但很不幸
這並非正確答案
怎麼會這樣?
由上述柯西的不同配法又可得5x+2y的另一最小值
最小值會有無限多個

qeypour
大 師
大 師
 
文章: 431
註冊時間: 2005-07-23

galaxylee 於 星期二 九月 13, 2005 6:07 pm


qeypour 寫到:
謝謝galaxylee兄的解法
用了兩次柯西不等式
關鍵在等號成立
不過小弟有一疑問
是否等號成立就保證有極值?

像這個題目
x^2+y^2=1,x,y都是實數
求5x+2y之最小值
利用柯西不等式(x^2+4y^2)(5^2+1^2)>=(5x+2y)^2
等號成立5x+2y有極值
此時x/5=2y/1代入x^2+y^2=1求得x=+ -10/sqrt(101)
進一步得5x+2y最小值為-52/sqrt(101)
但很不幸
這並非正確答案
怎麼會這樣?
由上述柯西的不同配法又可得5x+2y的另一最小值
最小值會有無限多個


柯西不等式只是一個在實數域下作用的絕對不等式
而其等號成立時,變數間遵守某種比例關係(這裡不能說不等式某一邊式子會有極值出現)
所以柯西不等式本身並沒有明確指出某式的極值是否存在,但可進一步用它來找極值

例如 x^2+y^2=1,x,y都是實數 求5x+2y之最小值

正確解:
利用柯西不等式(x^2+y^2)(5^2+2^2) ≧ (5x+2y)^2   (x,y是任意實數,不等式永遠成立)
進一步得到 1*29 ≧ (5x+2y)^2   (只要x,y滿足條件x^2+y^2=1,左式永遠成立)
因此在條件x^2+y^2=1的限制下,(5x+2y)^2 ≦ 29
即-√29≦ 5x+2y≦ √29
等號成立時,(x/5)=(y/2)=t,x=5t,y=2t代入x^2+y^2=1中,可得t及x,y之解(這樣的x,y確實存在)
所以,-√29為5x+2y之最小值。

錯誤解:
利用柯西不等式(x^2+4y^2)(5^2+1^2)≧(5x+2y)^2 (這不等式沒問題)

等號成立5x+2y有極值   (這句話有問題,因為在條件x^2+y^2=1的限制下,x^2+4y^2也會隨時變動,表示(5x+2y)^2的上限不是一個固定值,所以不能說等號成立時5x+2y有極值所以底下就不用看了)

此時x/5=2y/1代入x^2+y^2=1求得x=+ -10/sqrt(101)...(這只說明等號成立時以及x^2+y^2=1時,x,y的值,又此時x^2+4y^2=104/101)

進一步得5x+2y最小值為-52/sqrt(101)(這句話也有問題了,從前面的算式完全沒有出現(5x+2y)^2會小於等於某固定數的式子,所以看不出5x+2y的極值,只知道等號成立時,且在x^2+y^2=1的情形下x^2+4y^2=104/101,而(x^2+4y^2)(5^2+1^2)≧(5x+2y)^2就變成(104/101)(5^2+1^2)=(52/√101)^2

galaxylee
副教授
副教授
 
文章: 555
註冊時間: 2005-07-18

qeypour 於 星期二 九月 13, 2005 7:44 pm


其實我真正想問的是
(x^2+4y^2)(5^2+1^2)>=(5x+2y)^2 ..........(1)
(a^2+b^2)(x^2+y^2)>=(ax+by)^2..(2)
(ax+by)(2/a+3/b)>=[sqrt(2x)+sqrt(3y)]^2........(3)

三式紅色部份都變動值
(1)式是我舉的例子,利用等號成立求5x+2y最小值產生錯誤

而galaxylee兄用的(2)(3)兩式紅色部份也是變動值,為何可以求a^2+b^2之最小值
而不產生錯誤?

qeypour
大 師
大 師
 
文章: 431
註冊時間: 2005-07-23

galaxylee 於 星期二 九月 13, 2005 9:20 pm


qeypour 寫到:其實我真正想問的是
(x^2+4y^2)(5^2+1^2)>=(5x+2y)^2 ..........(1)
(a^2+b^2)(x^2+y^2)>=(ax+by)^2..(2)
(ax+by)(2/a+3/b)>=[sqrt(2x)+sqrt(3y)]^2........(3)

三式紅色部份都變動值
(1)式是我舉的例子,利用等號成立求5x+2y最小值產生錯誤

而galaxylee兄用的(2)(3)兩式紅色部份也是變動值,為何可以求a^2+b^2之最小值
而不產生錯誤?


(2)和(3)分開看只是兩個a,b,x,y的柯西不等式,無法得出極值線索
但合起來看可得
(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧[√(2x)+√(3y)]^2
(a^2+b^2)≧[√(2x)+√(3y)]^2 / (x^2+y^2).............(*)
右式雖是一個變動值,不過和a,b無關而且a^2+b^2可能會有下界[√(2x)+√(3y)]^2 / (x^2+y^2)(目前還不敢保證是最小值)
所以嘗試讓(*)等號成立,得出兩組a,b,x,y的比例關係式,進一步得出x,y的關係式
代入(*)求出值,巧的是此值為一個定數,所以就是最小值。(當然,若該值不是定數,就不是最小值)

galaxylee
副教授
副教授
 
文章: 555
註冊時間: 2005-07-18

訪客 於 星期二 九月 13, 2005 9:48 pm


galaxylee 寫到:
qeypour 寫到:其實我真正想問的是
(x^2+4y^2)(5^2+1^2)>=(5x+2y)^2 ..........(1)
(a^2+b^2)(x^2+y^2)>=(ax+by)^2..(2)
(ax+by)(2/a+3/b)>=[sqrt(2x)+sqrt(3y)]^2........(3)

三式紅色部份都變動值
(1)式是我舉的例子,利用等號成立求5x+2y最小值產生錯誤

而galaxylee兄用的(2)(3)兩式紅色部份也是變動值,為何可以求a^2+b^2之最小值
而不產生錯誤?


(2)和(3)分開看只是兩個a,b,x,y的柯西不等式,無法得出極值線索
但合起來看可得
(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧[√(2x)+√(3y)]^2
(a^2+b^2)≧[√(2x)+√(3y)]^2 / (x^2+y^2).............(*)
右式雖是一個變動值,不過和a,b無關而且a^2+b^2可能會有下界[√(2x)+√(3y)]^2 / (x^2+y^2)(目前還不敢保證是最小值)
所以嘗試讓(*)等號成立,得出兩組a,b,x,y的比例關係式,進一步得出x,y的關係式
代入(*)求出值,巧的是此值為一個定數,所以就是最小值。(當然,若該值不是定數,就不是最小值)


謝謝galaxylee兄,讓我對柯西不等式有更進一步之認知
thank  you

訪客

 

qeypour 於 星期二 九月 13, 2005 9:49 pm


galaxylee 寫到:
qeypour 寫到:其實我真正想問的是
(x^2+4y^2)(5^2+1^2)>=(5x+2y)^2 ..........(1)
(a^2+b^2)(x^2+y^2)>=(ax+by)^2..(2)
(ax+by)(2/a+3/b)>=[sqrt(2x)+sqrt(3y)]^2........(3)

三式紅色部份都變動值
(1)式是我舉的例子,利用等號成立求5x+2y最小值產生錯誤

而galaxylee兄用的(2)(3)兩式紅色部份也是變動值,為何可以求a^2+b^2之最小值
而不產生錯誤?


(2)和(3)分開看只是兩個a,b,x,y的柯西不等式,無法得出極值線索
但合起來看可得
(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧[√(2x)+√(3y)]^2
(a^2+b^2)≧[√(2x)+√(3y)]^2 / (x^2+y^2).............(*)
右式雖是一個變動值,不過和a,b無關而且a^2+b^2可能會有下界[√(2x)+√(3y)]^2 / (x^2+y^2)(目前還不敢保證是最小值)
所以嘗試讓(*)等號成立,得出兩組a,b,x,y的比例關係式,進一步得出x,y的關係式
代入(*)求出值,巧的是此值為一個定數,所以就是最小值。(當然,若該值不是定數,就不是最小值)


忘了登入
謝謝galaxylee兄,讓我對柯西不等式有更進一步之認知
thank you

qeypour
大 師
大 師
 
文章: 431
註冊時間: 2005-07-23






代數學