[問題]向量內積

[問題]向量內積

qeypour 於 星期四 九月 08, 2005 12:04 pm


a* b代表向量a,向量b作內積

試證(a+b)*c=a*c+b*c

請勿以向量的坐標表示法證明

qeypour
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galaxylee 於 星期四 九月 08, 2005 1:43 pm


左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

galaxylee
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qeypour 於 星期四 九月 08, 2005 2:07 pm


想到了
可以用a+b在c之正射影=a在c之正射影+b在c之正射影
{[(a+b)*c]/(c*c)}c=(a*c/c*c)c+(b*c/c*c)c
[(a+b)*c]/(c*c)=(a*c/c*c)+(b*c/c*c)

左右同乘c*c,
(a+b)*c=a*c+b*c

得證

這樣證可以嗎?
請galaxylee兄指導一下

qeypour
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galaxylee 於 星期四 九月 08, 2005 3:24 pm


qeypour 寫到:想到了
可以用a+b在c之正射影=a在c之正射影+b在c之正射影
{[(a+b)*c]/(c*c)}c=(a*c/c*c)c+(b*c/c*c)c
[(a+b)*c]/(c*c)=(a*c/c*c)+(b*c/c*c)

左右同乘c*c,
(a+b)*c=a*c+b*c

得證

這樣證可以嗎?
請galaxylee兄指導一下


你寫的式子沒錯
但向量正射影公式已經悄悄用上了向量內積有分配律的性質
所以你說呢?

galaxylee
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qeypour 於 星期四 九月 08, 2005 3:57 pm


galaxylee 寫到:
qeypour 寫到:想到了
可以用a+b在c之正射影=a在c之正射影+b在c之正射影
{[(a+b)*c]/(c*c)}c=(a*c/c*c)c+(b*c/c*c)c
[(a+b)*c]/(c*c)=(a*c/c*c)+(b*c/c*c)

左右同乘c*c,
(a+b)*c=a*c+b*c

得證

這樣證可以嗎?
請galaxylee兄指導一下


你寫的式子沒錯
但向量正射影公式已經悄悄用上了向量內積有分配律的性質
所以你說呢?


沒錯
正射影公式的推導有用到內積之分配率律
所以不能用正射影公式來證內積分配律
這讓我會去注意定理,公式的位階順序
謝啦

qeypour
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Re: [問題]向量內積

chanjunhong 於 星期五 九月 09, 2005 4:54 am


qeypour 寫到:a* b代表向量a,向量b作內積

試證(a+b)*c=a*c+b*c

請勿以向量的坐標表示法證明


可以請問你,這個問題是你自己想出來的嗎?還是........

chanjunhong
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Re: [問題]向量內積

訪客 於 星期五 九月 09, 2005 8:17 am


chanjunhong 寫到:
qeypour 寫到:a* b代表向量a,向量b作內積

試證(a+b)*c=a*c+b*c

請勿以向量的坐標表示法證明


可以請問你,這個問題是你自己想出來的嗎?還是........


內積的分配率是相當重要的一個東東
它可導出向量的正射影公式
還有向量長度的平方展開式也要靠它
內積如果只是一碗麵
那分配率可以讓它活化
變成牛肉面,大滷面,乾麵.........,各種各樣不同的麵
這問題是我自己想的
因為我發覺這麼重要的東西應當重視
但高中課本對這定律似乎著墨不多
所以囉

訪客

 

Re: [問題]向量內積

qeypour 於 星期五 九月 09, 2005 8:19 am


chanjunhong 寫到:
qeypour 寫到:a* b代表向量a,向量b作內積

試證(a+b)*c=a*c+b*c

請勿以向量的坐標表示法證明


可以請問你,這個問題是你自己想出來的嗎?還是........


忘了登入
內積的分配率是相當重要的一個東東
它可導出向量的正射影公式
還有向量長度的平方展開式也要靠它
內積如果只是一碗麵
那分配率可以讓它活化
變成牛肉面,大滷面,乾麵.........,各種各樣不同的麵
這問題是我自己想的
因為我發覺這麼重要的東西應當重視
但高中課本對這定律似乎著墨不多
所以囉

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Re: [問題]向量內積

galaxylee 於 星期五 九月 09, 2005 9:17 am


qeypour 寫到:
chanjunhong 寫到:
qeypour 寫到:a* b代表向量a,向量b作內積

試證(a+b)*c=a*c+b*c

請勿以向量的坐標表示法證明


可以請問你,這個問題是你自己想出來的嗎?還是........


忘了登入
內積的分配率是相當重要的一個東東
它可導出向量的正射影公式
還有向量長度的平方展開式也要靠它
內積如果只是一碗麵
那分配率可以讓它活化
變成牛肉面,大滷面,乾麵.........,各種各樣不同的麵
這問題是我自己想的
因為我發覺這麼重要的東西應當重視
但高中課本對這定律似乎著墨不多
所以囉


其實這問題,只要熟悉高中數學教材定不陌生
現行各版本的高中數學第三冊第一章1-1都有內積分配律的證明
你可以找幾本參考看看

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Re: [問題]向量內積

qeypour 於 星期五 九月 09, 2005 9:30 am


galaxylee 寫到:
qeypour 寫到:
chanjunhong 寫到:
qeypour 寫到:a* b代表向量a,向量b作內積

試證(a+b)*c=a*c+b*c

請勿以向量的坐標表示法證明


可以請問你,這個問題是你自己想出來的嗎?還是........


忘了登入
內積的分配率是相當重要的一個東東
它可導出向量的正射影公式
還有向量長度的平方展開式也要靠它
內積如果只是一碗麵
那分配率可以讓它活化
變成牛肉面,大滷面,乾麵.........,各種各樣不同的麵
這問題是我自己想的
因為我發覺這麼重要的東西應當重視
但高中課本對這定律似乎著墨不多
所以囉


其實這問題,只要熟悉高中數學教材定不陌生
現行各版本的高中數學第三冊第一章1-1都有內積分配律的證明
你可以找幾本參考看看


我有翻了一下龍騰本(余文卿教授主編)
赫然發現他並沒用分配律證正射影
他以cos@的投影觀念證完正射影公式之後
就用正射影公式來證內積分配律
那就有問題產生了

證明的位階順序需視證明者的過程而定
這樣會不會有不認同的情形
難道預備定理的證明也要寫嗎
可是若不寫,閱卷者又怎會知道?

那正射影公式到底可不可以用來證內積分配律?
答案是不一定嗎?
如果有學生這樣證,要給分還是不給?

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galaxylee 於 星期五 九月 09, 2005 3:15 pm


現行市場較大的高中數學教科書,如南一,翰林,康熙都採用我PO的証法
至於龍騰版的証法,是先介紹向量的座標表示法後,才用座標來證明
向量內積的分配律(在p33,p34),但在教師手冊上仍採用和其他版本
一樣的証法,我找不到您說的用正射影公式的證法,不知您看的是哪
一年的版本,我看的是94年最新的版本.

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qeypour 於 星期五 九月 09, 2005 3:31 pm


galaxylee 寫到:現行市場較大的高中數學教科書,如南一,翰林,康熙都採用我PO的証法
至於龍騰版的証法,是先介紹向量的座標表示法後,才用座標來證明
向量內積的分配律(在p33,p34),但在教師手冊上仍採用和其他版本
一樣的証法,我找不到您說的用正射影公式的證法,不知您看的是哪
一年的版本,我看的是94年最新的版本.


我看的是舊版本
不過這應該跟版本新舊無關
當初余教授用正射影證分配律有他的前因
如果他當初寫書是用分配律證正射影
那表是他一定在更早之前就以別的方法證出分配律
所以是不是內積分配律的證明並不適合作為考題
因為不同的寫書流程會導致不同的證明

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chanjunhong 於 星期五 九月 09, 2005 8:45 pm


By linear algebra     Chapter 6
Definition:
Let V be a vector sapce over F.  An inner product on V is a function
that assigns to every ordered pair of vector x and y in V a scalar in F,
denoted , such that, for all x,y, and z in V and all c in F we have:
(a)=+
(b)=c
(c)

(d)


We have this definition, we will have these theorems.
Let V be an inner product space. Then    and
(a) =+
(b)
(c)=0  if and only if x=0  (0向量)
(d) if = for all    then y=z

We have all theorems and definition, we can define the definition length (or norm)  by

for all  

So, we have the   espically,in

so, the question : <a+b,c>=<a,c>+<b,c> is the question.
(1)  如果不確定清楚你的定義,你的問題變成是要證明定義
(2)  當然,如果你採用的定義不一樣,你必須定義給我們你的內積定義是什麼,採有討論的空間。
(3)  在實數體系下的向量空間,或許對這一題的爭議很少,但是向量空間所附與你的運算方式,只有向量對向量的加減,向量對係數的乘法,及一些相關的分配律,並無規範向量對向量的乘法,但論及向量對向量的乘法,有可能涉及外積或內積的定義,當定義不一樣時,所得的結果都不同。
(4)各位都非常用功,而且非常優秀,都可知道哪本參考書寫些什麼?或高中數學有些什麼?
(以下是個人經驗及看法)
參考書內容如果發生不恰當、或錯誤時,有沒有人在負責這一件事?
以上是真實例子,考研究所的補習班通常都會出一些歷屆解答,
那時候我們考完研究所時,補習班就將考古題拿給當年考上研究所的學生,請他們寫答案
最後,在附上某某老師、或某某教授,就是每年考研究所學生必讀的範本。
。所以,書商要能在各家書商中脫穎而出,那些書商會怎麼做呢?
(5) 細微的邏輯部分,就由優秀的各位自行琢磨了!!

chanjunhong
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qeypour 於 星期五 九月 09, 2005 9:46 pm


galaxylee 寫到:左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖


這樣的證法似乎少討論一種
就是b,c在a之正射影與a反向之情形

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qeypour 於 星期日 九月 11, 2005 9:09 pm


galaxylee 寫到:左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖


個人覺得若用上述證法
因為牽涉到圖形

要考慮b,c與a是否垂直
還有零向量的問題也要考慮
圖形分類不會只有兩種
算蠻多樣的

用正射影來證只需考率 a 為零向量跟不為零向量兩種
分類比較單純
但先決條件是先用投影量證出正射影
這樣才可以

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chanjunhong 於 星期一 九月 12, 2005 5:49 am


qeypour 寫到:
galaxylee 寫到:左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖


個人覺得若用上述證法
因為牽涉到圖形

要考慮b,c與a是否垂直
還有零向量的問題也要考慮
圖形分類不會只有兩種
算蠻多樣的

用正射影來證只需考率 a 為零向量跟不為零向量兩種
分類比較單純
但先決條件是先用投影量證出正射影
這樣才可以


qeypour,你的問題非常好,
高中數學的內積證明為什麼會對的理由是,實數,同時定義內積為
相對分量的乘積的總和,如果這一切前提都改變了,是不是可以並在
一起討論呢?就如同,你說不能用向量證明,亦既所謂的分量,
那是不是應該給出合理的內積意義,才有說明的空間、或討論的空間呢?

再說,所謂的內積,是先要有<x+y,z>=<x,z>+<y,z>這個性質後,
同時滿足其它的性質,才稱為內積。
你可以依據這個定義,去證明<x,y+z>=<x,y>+<x,z>,反之,你可以定義
<x,y+z>=<x,y>+<x,z>,去證明<x+y,z>=<x,z>+<y,z>。
但是,你拿掉的是內積定義,分量乘積總和,那你要的是什麼?前提不見啦!!
以你之前公布的內容,既不要分量乘積總和,但又包含分量乘積總和的事實。
再說,嚴格說來,內積應概不具備分配律,雖然有人稱半線性,但是在實數下,
要稱有分配律,是特例,因在複數下馬上就不對,只剩定義的那一半有分配律。

chanjunhong
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高中數學問題