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Xehovah · 由 **Xehovah** 於星期三九月 07, 2005 4:16 pm

一組扭蛋有8種不同的造型，每投幣一次可以扭出一個蛋，假設每一種造型出現的機率相等，請問扭16次可以蒐集到全套的機率為何？（看似簡單的問題，算法好複雜...）解得出來的朋友，教一下解法可以嗎？

qeypour · 由 **qeypour** 於星期三九月 07, 2005 4:30 pm

令8種蛋個數為a,b,c,d,e,f,g,h
a+b+c+d+e+f+g+h=16
正整數解有H(8,16-8)=C(15,8)種
每種情形機率都是(1/8)^16
所以答案是C(15,8)*(1/8)^16

數學好好玩 · 由 **數學好好玩** 於星期三九月 07, 2005 6:28 pm

既然有八種組合，抽2個就有8*8種組合，抽三個就有8*8*8種組合，因為每種都有可能抽到。所以應是有8的8次方種組合(沒抽中的幾個的排列)，乘以8階乘，除以8得16次方。

Xehovah · 由 **Xehovah** 於星期四九月 08, 2005 2:58 pm

感謝回應！

曾嚐試qeypour的算法，可是發現好像不能用正整數解的方法來算，因為

如果買16包可以蒐集到全套的機率為C(15,8)*(1/8)^16
則買17包可以蒐集到全套的機率便為C(16,9)*(1/8)^17

C(16,9)*(1/8)^17 < C(15,8)*(1/8)^16

買愈多包，蒐集到全套的機率愈低，與常理似有違悖。

***********************

若用數學好好玩的方法算：

8! * 8^(16-8) / 8^16

則不論買幾包，答案永遠等於

8! / 8^8

亦與常理相悖。

qeypour · 由 **qeypour** 於星期四九月 08, 2005 3:59 pm

qeypour 寫到:令8種蛋個數為a,b,c,d,e,f,g,h
a+b+c+d+e+f+g+h=16
正整數解有H(8,16-8)=C(15,8)種
每種情形機率都是(1/8)^16
所以答案是C(15,8)*(1/8)^16

想錯了
這題並非各情形機率均等

不能直接乘(1/8)^16

qeypour · 由 **qeypour** 於星期四九月 08, 2005 4:46 pm

每次取有8種可能
全部有8^16種
集滿8種的情形為sumation(C(8,k)*(-1)^k*(8-k)^16),k從0~8
所以集滿8種之機率為[sumation(C(8,k)*(-1)^k*(8-k)^16),k從0~8]/8^16

Xehovah · 由 **Xehovah** 於星期四九月 08, 2005 6:12 pm

感謝qeypour！^_^

後來利用試算表，有點土法煉鋼地求出了一樣的結果，可是卻不知如何列出常式，以應用在其他數字上。

你真的很厲害耶，一下子就列出式子來了！謝謝！

qeypour · 由 **qeypour** 於星期四九月 08, 2005 6:21 pm

常式要考慮取n次
每次取有8種可能
全部有8^n種
集滿8種的情形為sumation(C(8,k)*(-1)^k*(8-k)^n),k從0~8
所以集滿8種之機率為[sumation(C(8,k)*(-1)^k*(8-k)^ n)/8^n,k從0~8

若扭蛋有s種
把8全部換成s就好了

數學好好玩 · 由 **數學好好玩** 於星期五九月 09, 2005 7:41 pm

逆向思考

全部的組合減掉只抽到其中7種的，但抽到其中7個的包含只抽到六種的，多減一次，因此加上只抽到其中6種的....以此類推，就會得以上公式。這樣含滿好記的。

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[數學]扭蛋問題

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