[轉貼]從芝諾座標到點內數學

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J+W 於 星期一 八月 29, 2005 2:56 pm


從芝諾座標到點內數學            
                        
                     王德奎(綿陽日報社,四川綿陽,621000 )
                              
    摘要:黃乘規教授要用外的非標準分析證明古代莊周的“萬世不竭”猜想,事情不會是那麽簡單。天津大學崔君達教授與何祚庥院士關於誇克虛與實的論戰,聯繫芝諾悖論及不可分割的連續統猜想,崔君達教授疑誇克爲虛,屬於虛的不可分割的連續統;何祚庥院士認誇克爲實,屬於實的不可分割的連續統。如何統一虛的不可分割的連續統和實的不可分割的連續統?從芝諾座標到點內數學,才是必由之路。
    關鍵字:非標準分析、芝諾悖論、物質無限可分、虛與實的介面、芝諾座標
                         一、從黃乘規說芝諾及巴門尼德
    揚子晚報等曾有報道,自西元前六世紀古希臘的學者畢達哥拉斯,猜想數學中存在不可分割的連續統開始,在隨後的幾百年間,也受到德謨克利特、柏拉圖等一些數學和物理學家的關注,但一直未獲得嚴格論證。而現已65歲的天津師範大學數學系黃乘規教授,歷經二十幾年的苦心研究,卻不僅把這2500年來的猜想解析成功,而且提出了可以應用的數學模式。據黃教授講,他目前爲止運用外的非標準分析學,已經解決8個數學問題;不可分割的連續統的存在性只是其中之一,它還能解決古代莊周的“無厚不可積”、“萬世不竭”兩個猜想,近代數學的“實數集的測度爲零”等三個問題及古希臘先哲的另外兩個猜想。黃乘規教授的科研成果受到美國《數學評論》,在頭版頭條加以評介。英國倫敦數學研究所聘請黃乘規爲該所榮譽博士。中科院數學研究所顧問、大連理工學院數學所名譽所長徐利治稱,這一理論從邏輯上精確地論證了“連續統”的真正連續性,是數學基本理論上的重大建樹,給現代物理科學提供了新的有效工具。25年前黃乘規研究外的非標準分析,1972年,他解決了“stvenant原理的一個反例”,這是150年無人攻克的難題,成爲他研究外的非標準分析的動力,也成爲他能解開數學中不可分割的連續統的原因。
    但在筆者看來,“對畢達哥拉斯、德謨克堹S、柏拉圖、伽利略等2500多年來數學史上的‘數學中關於不可分割的連續統的存在性’的短的證明”,確實是“2500多年的著名數學難題”,如能解決,當然屬於重大突破。但黃乘規教授要用外的非標準分析,獲得嚴格論證我國古代莊周的“萬世不竭”猜想的證明,事情不會是那麽簡單。道理是:
    1、非標準分析由美國數學家魯濱遜1960年推出;非標準分析雖是一種“點內數學”;它的點內觀念正如天外有天,認爲點內也有世界,但據國內非標準分析專家、四川省社會科學院學術委員會副主任查有梁教授的研究,點內非標準分析涉及最多的還僅僅是平面和球面解析,缺少環面解析;而這恰恰屬於不確定性解析範疇。
    2、非標準分析與存在不可分割的連續統聯繫緊密,最著名的例子是希臘神話中的飛毛腿阿基奡粥l不上龜的悖論。因此,數學中關於不可分割的連續統的存在性,不僅古希臘的先哲畢達哥拉斯、德謨克堹S、柏拉圖關注,而且古希臘的先哲巴門尼德、蘇格拉底、芝諾也很關注。但巴門尼德、芝諾和蘇格拉底、柏拉圖、畢達哥拉斯、德謨克堹S不同,他們認爲不可分割的連續統也存在虛與實的介面,即這堳D標準分析也存在類似飛毛腿追不上烏龜的芝諾悖論,正確的處理是思維與存在、物質與真空存在零點介面。
    3、衆所周知,上世紀下半葉毛主席親自領導和發動的物質無限可分說科學普及運動,深入人心。而物質無限可分與不可分割的連續統猜想也聯繫緊密,並演變爲以毛主席的“一分爲二”批判楊獻珍的“合二爲一”論的鬥爭。著名化學家徐光憲1959年編著的《物質結構》大學教材,緒論一章就說:一派意見認爲物質內部沒有空隙,是連續的,可以無限止地分割下去,例如我國戰國時代就有這樣的看法,一尺長的棍子,日取其半,萬世也取不完;另一派,爲統治階級服務的唯心論哲學家,其中也包括某些自然科學家,是不甘心的,認爲物質不能無限制地分割下去。毛主席闡明宇宙從大的方面看來是無限的,從小的方面看來也是無限的,不但原子可以分,原子核可以分,基本粒子也可以分。在毛主席這一思想指引下,我國物理學工作者在1966年提出了基本粒子的層子模型理論。
    4、1996年2月26日,《光明日報》發表天津大學崔君達教授的文章《誇克存在嗎》,表達他對“誇克說”的質疑。1996年9月2日,《科技日報》發表何祚庥院士的《評崔君達教授的“複合時空論”》,稱“複合時空論”是“病態科學”。這場論戰與不可分割的連續統猜想聯繫,崔君達教授疑誇克爲虛,屬於虛的不可分割的連續統一派;何祚庥院士認誇克爲實,屬於實的不可分割的連續統一派。不知黃乘規教授是如何統一虛的不可分割的連續統和實的不可分割的連續統的?在筆者看來,從芝諾座標到點內數學,才是必由之路。
                           二、從芝諾悖論到崔君達與何祚庥論戰  
    1、不可分割連續統的幾何圖像
    純粹的幾何圖形或靜止的幾何圖形,沒有加進時間,也沒有加進動力,這是一種缺陷並影響到物理學等許多學科。雖然後來從歐幾媦w幾何發展到拓撲學,發展到微分流形,企圖彌補這種缺陷,但仍然留有迹印。例如前蘇聯物理學家B·C·巴拉申科批評愛因斯坦的引力理論存在能量困難,就持這種論據。所謂相對論中的能量困難,是指愛因斯坦的幾何場,和描述各類微觀客體的能量場,兩者的物理實質是根本不同的,不能把一個歸結爲另一個,甚至在引力場很弱的極端場合下,也不能導入能量概念。當然,原則上可以存在不用質量、能量和衝量這三個概念來描述的現象和客體,但在對客體之間的傳遞作運動學描述的條件下,這種放棄就會引起嚴重的問題。回顧一下黎曼的高維曲面,黎曼把力與幾何等同起來給人的啓迪,是作了一番變換說明的:一個生活在一張紙上的二維書蟲動物種族,放在一張弄皺的有著立體感的三維紙上,這些書蟲們如果不運動,它們會推斷它們所處的新世界仍是完全平坦的,或者說它們身子所處的狀態僅是隨著這些三維空間的變形而變形,只是在它們開始作運動的時候,才能覺察出有一種神秘的看不見的力、質量、能量、衝量、張量、向量等東西的存在。這可以看出力與幾何是一種分離的結合。而愛因斯坦的廣義相對論的數學表達,正是在他的密友、數學家格羅斯曼的幫助下,才從黎曼等人的工作中找到所需的特殊數學工具,可以說黎曼的偉大工作幾乎是逐字逐句地在愛因斯坦的原理中找到了真正的歸宿。但同時也給他的廣義相對論帶來了力與幾何有分離的痕迹。對此,三旋則是一開始就結合著空間也結合著時間,結合著幾何也結合著能量的,是賦予空間和時間與動力的等效。更有可能三旋是一種時間理論,而不是一種空間理論,原因是它使時空出現多方向流逝,例如球面運動只給出了兩種時空方向,即正反轉,而三旋卻給出了62種時空方向,從而使時空在更大方向上去容納各種理論和現象,且能給出簡並的處理。
    幾千年來,人們都重視空間理論,而在時間理論上開拓不大,即使有開拓,如超弦理論,也是從多維空間啓發中,發散時間,並無類似笛卡兒三角座標式的開發空間的形象性。而且用三角座標,時間也總是一維的。三旋理論沖出了這種桎梏:時間可以是多方向並存的,而且三旋的綜合會出現觀察效應上的不同性。反過來看高維、多維,不管能解釋多少效應,最終還是要落實到人的觀察、實驗、意識、理解上,而人對時間的觀念是一維的,所以一維的時間總是要作爲簡並,簡化的數學手段,使現存的許多數學公式對自然的描述既有合理的一面,也有歧義。
    一維的時間總是單向的,所以有虛、實或正、負的區別。而三旋時間座標的多向性,可以認爲時間總是“實”的,沒有“虛”的,這與笛卡兒空間座標雖引出了虛時間,即時間可以倒流,但空間總是“實”的一樣。三旋的“實”時間座標也可以引出了“虛”空間,如做夢及想象中的空間是虛的,但外部的時間卻是正的。這從中也不難理解三旋的多時空結構;但多時空結構不一定是三旋,因爲三旋不能從歐氏幾何、伽利略變換、相對論等理論中直接導出,它主要是從實踐觀察中,從自然全息中感悟出,再回到數學中去尋找答案。
    現在有一種複合時空理論,有許多虛值,因爲它是球粒點式的複合時空,不是環量子式的複合時空;這種球粒點式複合時空,取的是x、y、z軸和時間t,雖沒有涉及環量子的情況,但它所引起的爭論,卻蘊含有現實意義的哲學底蘊,即在西方科學和學術已經千錘百煉證明行之有效的基本理論方法層次上,如何將中國傳統哲學的終極關懷及關懷程式有效地植入。有意思的是,芝諾悖論提供了一種反常識的怪論,也許能幫助創造一種奇迹:讓畢達哥拉斯學派把圖形與數緊密結合的謀圖及其現代繼承者,再次出現切口。古希臘時代,畢達哥拉斯把自由的科學形式賦予幾何學,用純粹抽象的形相來考慮它的原理,並研究具有非物質的、理性的觀點的定理,從而改造了幾何學。正是在他們找到了無理數的實質的理論,並認識已發現了宇宙圖像結構的頂盛時期,出現了芝諾悖論,這個悖論涉及對空間的點的定義的爭論。因爲過去希臘人一直認爲點是位置的單元,所以由有限點組成的任何長度都可以通約,也就是可以找到某個最小的長度基元。但如果認爲點沒有大小,又爲何可以認爲長度是由有限個點組成的呢?於是巴門尼德與芝諾等人擔憂,數學作爲一門精確科學是否還有可能?即把時空作爲點的堆集的這種關於宇宙和諧性的空間基礎研究出現的危機,導致了畢達哥拉斯學派的瓦解。下面我們將探討芝諾悖論對現代科學的衝擊。
    2、芝諾悖論
    大約在西元前445年,年近65歲的古希臘傑出思想家巴門尼德與年輕的蘇格拉底發生了最爲驚人的智力衝突。在今天看來,這些爭論的焦點是:思維與存在、物質與真空存不存在介面?巴門尼德認爲:如果不存在介面,即物質世界是整體式的,現實是一個沒有變化的統一體,那麽運動尤其是不可能的。言下之意,巴門尼德贊成常識內的事物是有介面的。但反對的人很多。芝諾爲支援他的老師巴門尼德,設計了幾個強有力的混淆常識領域堛犒B動與介面的悖論參加辯論,希臘神話中的飛毛腿阿基奡粥l不上龜的悖論就是其中之一。
    芝諾是這樣論證的:在賽跑的時候,跑得最快的永遠追不上跑得最慢的,因爲追者首先必須達到被追者的出發點,這樣,那個跑得慢的必定總是領先一段路。這堛蛑晙G意留下陷阱:不提無窮小的差距能否合成一段有限的距離,讓人往婺鶠F而把真實的意圖即思維與存在、物質與真空存在介面隱藏起來。
    兩千多年以來,芝諾悖論誘發了無數場直接的論戰,衆多試圖駁斥芝諾的數學家和哲學家無一不掉進他的陷阱:即認爲是解決運動從本質上說是不可能發生的問題,而停留在對無窮小的距離或時間作求和極限的數學分析上。但意猶未盡的人卻認爲,這種數學分析還不完備。因爲芝諾悖論的關鍵是思維與存在、物質與真空存在介面,而不是運動的本質是不可能發生或不能結束。因爲在宏觀世界上任何一個有理智的正常人,即使連算術也不懂,也熟悉運動的發生與停止,跑得最快的人一定能追上跑得最慢的龜,難道有高深智慧的巴門尼德和芝諾不明白?
    所謂人追龜,是指人與烏龜接觸的那一刻,因此只要人與烏龜之間的差距小於烏龜或人體的尺寸,這就是一個介面。小於這個尺寸,不能把賽跑的龜分了還看成龜,也不能把賽跑的人分了還看成人。即在小於這個介面內,既不能藏下一隻龜,也不能藏下一個人,除非有往點內穿的本領。這是一個跨界問題。如果承認有這種跨界,就是承認有芝諾悖論反駁的一面:物質世界是整體式的,現實是一個沒有變化的統一體。但宏觀世界的真實情況不是這樣,即沒有超界的高能,真空是不易撕裂的。在小於烏龜或人體的尺寸下,烏龜或人的身體總有一部分要露在這個介面外,因此人與龜的身體必然會接觸,即人能追上龜,芝諾悖論不成立。
                                   三、芝諾座標與模糊數軸
    1、芝諾坐標系
    要說明衆多對芝諾悖論的解答不完備,需要建立芝諾坐標系。用X軸代表物質與真空,用Y軸代表思維與存在,作成平面直角坐標系,定交點爲O,箭頭一邊爲正,另一邊爲負。正的表示不需要意會理解的思維與存在、物質與真空,負的表示需要意會理解的思維與存在、物質與真空。如此構成的坐標系把萬事萬物分成了四個象限。
    第Ⅰ象限屬於自然界、宇宙以及人類社會不需要意會理解的事物,包括愛因斯坦的相對論真空。第Ⅱ象限描述了鏡像、夢幻一類的反映,以及部分的大腦貯存、書畫貯存、音像貯存,電腦中的虛擬生存。鏡像、夢境似乎可視可聽,是不需要意會理解的思維與存在,但它們顯現的空間是虛的、模糊的,是一些需要意會理解的物質與真空。類此,還有不能重復驗證的UFO、特異功能等類報告。第Ⅲ象限的東西,不論思維與存在還是物質與真空,都需要用意會才能理解。如無窮小量,類似於將小數散佈到整數之間,只要你能想象著寫出來,它就始終比零大,而比一個任意數小。無窮小量事實上的確存在並不是直接表明的,在研究它們的過程中,不僅産生了數學上的內部集合論,模糊數軸理論,而且産生了物理學上的弦論,即物質分到10-35米的線度,粒子並不是一個無維的點,而是一條長度不大於10-35米的細線或微小圈。第Ⅳ象限的真空場及真空效應,不同於第Ⅰ象限的相對論真空,而具有量子論的特色,即真空空間並不是完全空的,它充滿著小的量子起伏。這些起伏可以看成是波,即是物理場內的波動。這些波具有所有的可能的波長並且在所有方向上運動。我們不能檢測出這些波,因爲它們只是短暫地存在並且是很微小。這種真空效應是實在的,但也是需要意會才能理解的思維與存在。
    上面就是芝諾坐標系。運動在它的四個象限內是不平權的,即存在反常和宇稱的不同。芝諾坐標系存不存在?它與現實有沒有聯繫呢?可以說,有許多熱點、難點的科學、哲學爭論,都間接與此有聯繫。例如中國科學院院士何祚庥與天津大學教授崔君達關於複合時空的論戰,就是典型的一例。在這場爭論中,崔君達類似芝諾悖論的位置,他近乎使用了芝諾座標的四個象限來說明複合時空。而何祚庥類似駁斥芝諾悖論的位置。他們爭論的問題,正如把阿基奡絰P烏龜的賽跑變換到了無窮小量和接近光速條件下的情況。崔君達也類似設阿基奡絰P烏龜分別對應二慣性系作相對運動,並且崔君達導出了四個象限,他認爲Einsten狹義相對論中,實際中只用了L(0, 0,0)第Ⅰ象限,這種時空已經不適用於量子理論。
    崔君達雖然用數學分析得出四個象限,但他也把運動在四個象限中的芝諾座標介面舍去了,從而得出第Ⅰ象限中的誇克和其他象限中的誇克無差別,而一同潑掉,這是何祚庥所反對的。當然崔君達也正確地指出何祚庥所堅持的那種沒有變化的無限可分式的統一體的層子是不存在的。
    2、模糊數軸與內部集合論
    模糊數軸理論發現了芝諾悖論阿基奡粥l不上龜中隱含的“數錐”,並揭示出芝諾悖論孕育著的“數環”和“數旋”思想。無窮小量的倒數是無界數,因爲一個無窮小量非常小,其倒數將會非常大,因此有無窮大的性質。但無界數儘管大,它是有限的,因而比數學中産生的真正無限的數小。這些無界數存在于一種介於普通的有限標準數和無限標準數之間的過渡區中。有意思的是,如果用模糊集合理論研究這種數目的無窮大,可以說它們也是一種特別的模糊集合。模糊數軸正是把這些“無窮大”、“無窮小”問題攬到一起來解決。例如即使認爲宇宙是無窮大。那麽宇宙的邊界也是處在模糊數軸集的模糊帶或模糊圈之中,在此基礎上形成了模糊宇宙學的概念。
    在對芝諾悖論的駁斥中有一種方法叫內部集合論,是美國數學家魯濱遜提出的一種實線拓撲學的非標準分析法。魯濱遜說:實數可以用一條被稱爲實線的直線上的點表示,它由整數(正整數和負整數)、有理數(能夠表爲分數的數)和無理數(不能表爲分數的數)等三類標準陣列成,而與它們相聯繫的無窮小量則稱爲非標準數。這爲無窮小在數學上取得了一定的地位。因爲19世紀的數學家們爲無窮小發明了一種技術替代法,即所謂的極限理論;該理論是如此周全,衆多研究者都能把無窮小從芝諾悖論中驅逐出去。與極限理論不同,魯濱遜認爲無窮小爲運動的細節提供了細微的觀察。他的非標準分析法不是把無窮小驅逐出去,而是把人的觀察責任驅逐出去。這與我們對芝諾悖論要劃清運動與介面的看法是接近的。而魯濱遜建立的實線拓撲學也與模糊數軸相一致。因爲魯濱遜認爲無窮小非標準數比任何正標準數小而比零大,模糊數軸上聚集在整數周圍的混合非標準數,是標準數加減無窮小量得來的。模糊數軸上,每一個標準數周圍都聚集著這樣的混合標準鄰居。兩個名數之間的算數差必然是名數,因而也是標準數。如果這一差值是無窮小,就違反了無窮小比所有標準數小這一定義。這一事實的結論是,一個無窮小間距的兩個端點不能用名數來表示,因此一個無窮小的間距永遠都不能通過測量來獲得,無窮小永遠都停留在觀察範圍之外。在時間方面也如此,儘管我們能夠把一個標準數表示至小數點後任何有限的位數並利用這一近似值作爲一個測量標記,但我們不能接近這個展開小數的無界尾去改變一個數位而定義出非標準的無窮小地接近的鄰近值。作爲測量標記,只有標準名數才是有效的,利用它們的非標準鄰近值用作測量是虛幻的。
                                   三、大腦實驗不可積因數
    1、微積分與不可積因數
    微積分雖與無窮小有聯繫,但注意的重點,微分在於求兩個無窮小量之比的極限,積分在於求無窮小量總和的極限,這兩者後來都容易使人忽視微分對運動介面變化的揭示。例如,設M0是曲線L上的一個定點,M1是動點,引割線 ,當點M1沿曲線L趨近M0時,割線M0M1的極限位置M0T就成曲線L在點M0處的切線。無窮小量使曲線變成了切線,這個介面的變化,同樣反映在速度上,即路程在時間的無窮小分割中變成了速度介面,速度在時間的無窮小分割中變成了加速度介面,這是多麽不同尋常的深刻變化。
    其次,微積分求解都要求函數反映的曲線是連續的和光滑的,但其實在微觀領域的觀察,曲線並不是那麽光滑和連續。韋爾的統一場論研究表明,在無窮小的空間,存在不可積因數。他指出:一個真正的無窮小幾何必須只承認一個長度從一點到與它無限靠近的另一點轉移的這一原則。這就禁止我們假定在一段有限的距離內,長度從一點轉移到另一點的問題是可積的,尤其是當方向的轉移問題早已證明是不可積時更不能這樣假定。這樣,不可積標量因數的想法便産生了,電磁勢Ai也由此産生,於是韋爾的理論可以把電磁學在概念上納入一個不可積標量因數的幾何想法之中。我們從麥克斯韋的電磁場理論可以知道:變化的磁場産生電場,變化的電場産生磁場,變化的電場和磁場總是相互聯繫,形成一個不可分離的統一的場。這同模糊數軸的無窮小量數環、數旋現象是多麽相似。
    2、大腦實驗與思維這把刀子
    芝諾座標不同於平面對頂角。對頂角是平面上兩條直線相交,繼續延伸過去形成的兩個相等的角,因此對頂角是平權的。芝諾座標則是點外與點內的對頂角,即兩條直線相交,延伸的不是平權的空間, 而是向交點內的“空間”,這只能用意會來理解。如果把這個模式拿到現實生活中去尋找,會很自然地同大腦聯繫起來。把視角看成從一點出發引申的兩條直線。視線向相反的方向的延伸,不伸向腦外而是腦內,即是向“點”內的延伸,這叫做大腦貯存。大腦貯存不僅是現實物質的儲存,而且還是一部分負物質、負空間、負量子在我們宇宙中的一種貯存。例如做夢,有時能看到活生生的人、樹,有活動空間,難道這不是一種真實思維的負物質、負空間、負量子的貯存嗎?
    其次,這種芝諾座標與崔君達的複合時空座標也不同。崔君達是把芝諾座標的四個象限再分成四個平權的直角坐標,這樣一個時空變成了16個象限(4×4),這堳鈭與存在、物質與真空是被絕對地分開了。事實並非如此,例如正常人能直觀理解的物質與真空普遍存在于現實世界,它們既能存在於同一個象限,即第Ⅰ象限,又能反映到其他三個象限,但其他三個象限不一定能有這種平權,這是芝諾座標的人擇原理。例如點內的空間, 比如大腦做的夢境,它不可再分成四個象限,而與現實的對應物沒有交叉。因此即使數學邏輯能推證出16個象限,而這堛獐ずЭ瓡銴]僅是芝諾座標第Ⅱ象限的反映,並沒有走出第Ⅱ象限,正像層子模型沒有走出第Ⅱ象限一樣。但人類科學理論反映上的困難,並不是自然界的困難。高能實驗在發展,真實的誇克在反映。
    現在可以來總結芝諾悖論了:在芝諾座標的第Ⅰ象限,阿基奡筒M烏電是可觀察可直接測量的宏觀尺寸量,速度有差異的賽跑,身體能接觸,芝諾悖論不成立。如果阿基奡筒M烏龜是不可觀測的小量,它們就可能處於第Ⅲ象限,這有兩種處理:一是極限分析無窮小量求和有限極,芝諾悖論不能成立;二是無窮小量的內集論分析,不能測量標記的無窮小量被排除在可觀察責任之外,芝諾悖論難以判斷。芝諾悖論是以書面知識存在於第Ⅱ象限,實際已存在兩千多年了。芝諾爲這種存在作的類似慣性定律式的辯護:運動不可能發生或結束的哲理,有可能存在於第Ⅳ象限的真空效應中:真空中的量子起伏,遵循海森堡測不准原理,運動似有似無。並且真空中的高能粒子碰撞實驗也說明,有時粒子越分,質量愈大,數目會越多,這是與人們常識相左的地方。
    芝諾座標是一把思維刀子,它支撐著大腦實驗。思維這把刀子有時比真實的刀子更厲害。例如鐵刀子雖可以劈開木材,高能加速器這把“刀子”雖可以把強子粉碎,但它們都還對輕子沒有辦法。然而思維這把刀子卻可以把輕子“剖開”,研究它們的前誇克結構。
    芝諾座標揭示了芝諾悖論進攻的是人們對思維與存在、物質與真空的局限性,這有助於打磨人類思維的這把刀子,並將大大推進當今科學與哲學的發展。

                        參考文獻
1、王德奎,關於芝諾悖論引起的哲學思考,延邊大學學報(社),1997年第3期;
4、王德奎,三旋理論初探, 四川科學技術出版社,2002年5月;
5、王德奎,解讀《時間簡史》,天津古籍出版社 ,2003年9月。
6、王德奎,環量子理論與三旋理論,涼山大學學報,2004年第2期 ;  
7、王德奎,從卡一丘空間到軌形拓撲,涼山大學學報,2003年第1期。
   作者簡介:王德奎,59歲,研究員,綿陽日報編輯。Email:y-tx@163.com

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文章: 2165
註冊時間: 2003-12-30






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