[數學]芝諾悖論

[數學]芝諾悖論

J+W 於 星期一 八月 29, 2005 2:12 pm


芝諾﹝Zero of Elea﹞
約西元前490-約前425,古希臘
        芝諾生活在古希臘的埃利亞城邦。他要埃利亞學派的著名哲學家巴門尼德﹝Parmenides﹞的學生和朋友。
        芝諾因其悖論而著名,並因此在數學和哲學兩方面享有不朽的聲譽。數學史家F•卡約堙zajori﹞說:『芝諾悖論的歷史,大體上也就是連續性、無限大和無限小這些概念的歷史。』由於芝諾的著作沒能流傳下來,故只能通過批評他的亞堣h多德及其詮釋者辛普埵頞矕竣~得以瞭解芝諾悖論的要旨的。現存的芝諾悖論至少有8個,其中關於運動的4個悖論:二分說、阿基奡粥l龜說、飛箭靜止說、運動場悖論尤為著名。前三個悖論揭示的是事物內部的稠密性和連續性之間的區別,是無限可分和有限長度之間的矛盾。他並不是簡單地否認運動,而是反對那種認為空間是點的總和、時間是瞬刻的概念,他想證明在空間作為點的總和的概念下運動是不可能的。第4個悖論是古代文獻中第一個涉及相對運動的問題。
        芝諾的功績在於把動和靜的關係、無限和有限的關係、連續和離散的關係惹人注意地擺了出來,並進行了辯證的考察。雖然不能肯定他對古典希臘數學的發展有無直接的重要影響,但有一點決不是偶然的巧合:柏拉圖寫作對話《巴門尼德》篇時,因為其中討論的主要話題之一是芝諾的觀點,芝諾也是書中的主角之一,因此在柏拉圖學園中很自然地熱烈討論起芝諾悖論來。當時歐多克索斯正在柏拉圖學園中攻讀和研究數學與哲學。歐多克索斯在稍後的時間堻苭艉F新的比例論,從而克服了因發現無理數而出現數學危機,並完善了窮竭法,巧妙地處理了無窮小問題。
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埃利亞的芝諾
 
“辯證法的創始人”
    芝諾(約西元前490年~西元前425年)生於義大利半島南部的埃利亞城邦,他是埃利亞學派的著名哲學家巴門尼德的學生和朋友。據說他在母邦度過了一生,僅在成名之後到過雅典。據傳說,芝諾因蓄謀反對埃利亞的君主而被處死。關於他的生平,缺乏可靠的文字記載。柏拉圖在他的對話《巴門尼德篇》中,記載了芝諾和巴門尼德於西元前5世紀中葉去雅典的一次訪問。其中有這樣的文字:“巴門尼德年事已高,約65歲;頭髮很白,但儀錶堂堂。那時的芝諾約40歲,身材魁梧而美觀,大家說他已經變成巴門尼德所鍾愛的了。”在以後的希臘著作家看來,這次訪問是柏拉圖虛構的。但柏拉圖有關芝諾觀點的記敍,卻被普遍認爲是準確的。在柏拉圖的巴門尼德篇中,當芝諾談到自己的著作(論自然)時,這樣說道:“由於青年時的好勝著成此篇,著成後,人即將他竊去,以至我不能決斷,是否應當讓它問世。”芝諾不象他的老師那樣企圖從正面去證明是一不是多,是靜不是動,他常常從反面即歸謬法來爲“存在論”辯護。西元五世紀的評論家普羅克洛斯說過,芝諾從“多”和運動的假設出發,一共推出了40個各不相同的悖論。現存的芝諾悖論至少有8個,其中關於運動的4個悖論最爲著名。芝諾的著作早已失傳,亞堣h多德的物理學和辛普埵頞矕爲物理學作的注解是瞭解芝諾悖論的主要途徑,此外只有少量零散的文獻可作參考。


    直到19世紀中葉,亞堣h多德關於芝諾悖論的引述及批評幾乎是權威的,人們普遍認爲芝諾悖論不過是一些詭辯。英國數學家B.羅素感慨的說:“在這個變化無常的世界上,沒有什麽比死後的聲譽更變化無常了。死後得不到應有的評價的最典型例子莫過於埃利亞的芝諾了。他雖然發明瞭四個無限微妙無限深邃的悖論,後世的大批哲學家們卻宣稱他只不過是個聰明的騙子,而他的悖論只不過是一些詭辯。遭到兩千多年的連續駁斥之後這些詭辯才得以正名,…。” 19世紀下半葉以來,學者們開始重新研究芝諾。他們推測芝諾的理論在古代就沒能得到完整的、正確的報道,而是被詭辯家們用來倡導懷疑主義和否定知識,亞堣h多德正是按照被詭辯家們歪曲過的形象來引述芝諾悖論的。目前,學者們對芝諾提出這些悖論的目的還不清楚,但大家一致認爲,芝諾關於運動的悖論不是簡單的否認運動,這些悖論後面有著更深的內涵。亞堣h多德的著作保存了芝諾悖論的大意,從這個意義上來說,他功不可沒,但他對芝諾悖論的分析和批評是否成功,還不可以下定論。

有關芝諾悖論在古希臘數學發展中起到的作用,在科學史上衆說紛紜。P·湯納利首先提出,不是巴門尼德而是畢達哥拉斯學派發現的不可公約量,對芝諾悖論的提出産生了深刻的影響。H·赫斯和H·斯科爾斯則認爲芝諾是對古代數學的發展起決定影響的人物,他們試圖證明,畢達哥拉斯學派曾假定存在無限小的基本線段,想以此來克服因發現不可公約量而引起的矛盾,而芝諾的悖論反對了這種不準確的做法,從而迫使其他數學家去尋找真正的原因所在。另有一些學者持有完全不同的觀點,他們認爲芝諾對那個時代的數學發展沒有作出任何重大的貢獻。不管爭論的結果如何,人們無須擔心芝諾的名字會從數學史上消失,就像美國數學史家E·T·貝爾說的,芝諾畢竟曾“以非數學的語言,記錄下了最早同連續性和無限性格鬥的人們所遭遇到的困難。”芝諾的功績在於把動和靜的關係、無限和有限的關係、連續和離散的關係惹人注意地擺了出來,並進行了辨證的考察。在哲學上,芝諾被亞堣h多德譽爲辯證法的發明人,黑格爾在他的哲學史演錄中指出:“芝諾主要是客觀的辨證的考察了運動,並稱芝諾爲“辯證法的創始人”。
芝諾的四個悖論
    (1) 二分說。“運動是不存在的,理由是位移事物在達到目的地之前必須先抵達一半處。”J·伯內特注釋說,不可能在有限的時間內通過無限多的點,在你走完全程之前必須先走過給定距離的一半,爲此你必須走過一半的一半,等等,直到無窮。亞堣h多德批評芝諾說:他主張一個事物不可能在有限的時間堻q過無限的事物,或者分別地和無限的事物相接觸。要知道,事物在有限的時間堣ㄞ鄔M數量上無限的事物相接觸,但卻能和分起來無限的事物相接觸,因爲時間本身分起來也是無限的。


    (2) 阿基奡窗]荷馬史詩中的善跑猛將)追龜說。“一個跑得最快的人永遠追不上一個跑得最慢的人。因爲追趕者首先必須跑到被追者的起跑點,因此走得慢的人永遠領先。”伯內特解釋說,當阿基奡筐儦F烏龜的起跑點時,烏龜已經走在前面一小段路了,阿基奡竣S必須趕過這一小段路,而烏龜又向前走了。這樣,阿基奡等i以無限的接近它,但不能追到它。亞堣h多德指出:認爲在運動中領先的東西不能被追上這個想法是錯誤的。因爲在它領先的時間內是不能被趕上的,但是,如果芝諾允許它能越過所規定的有限的距離的話,那麽它也是可以被趕上的。


    (3) 飛箭靜止說。“如果任何事物,當它是在一個和自己大小相同的空間堮氶]沒有越出它),它是靜止的。如果位移的事物總是在“現在”埵有這樣一個空間,那麽飛著的箭是不動的。”亞堣h多德批駁說:他的這個說法是錯誤的,因爲時間不是由不可分的“現在”組成的,正如別的任何量都不是由不可分的部分組合成的那樣。這個結論是因爲把時間當作是由“現在”組合成的引起的,如果不肯定這個前提,這個結論是不會出現的。


    (4) 運動場悖論。“第四個是關於運動場上運動物體的論點:跑道上有兩排物體,大
小相同而且數目相同,一排從終點排到中間點,另一排從中間點排到起點。它們以相同的速度沿相反方向作運動。芝諾認爲從這堨i以說明:一半時間和整個時間相等。”亞堣h多德指出:這媬欞~在於他把一個運動物體經過另一運動物體所花的時間,看作等同於以相同速度經過相同大小的靜止物體所花的時間,事實上這兩者是不相等的。

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  西元前五世紀,由埃利亞哲學家芝諾想出的四個悖論將這些困難明顯的暴露了出來。芝諾據說是一個自學成才的鄉村孩子,是數學家帕門尼茨的朋友。他在與他的保護人一起訪問雅典時,發明瞭四個簡單的悖論,把一些自鳴得意的哲學家震驚得不知所措。

下面就是芝諾提出的四個悖論:

“兩分法”:向著一個目的地運動的物體,首先必須經過路程的中點;然而要經過這點,又必須先經過路程的四分之一點;要過四分之一點又必須首先通過八分之一點等等,如此類推,以至無窮。結論是:無窮是不可窮盡的過程,運動永遠不可能開始的。

“阿基奡粥l不上烏龜”: 阿基奡筋O《荷馬史詩》中的善跑英雄。奔跑中的阿基奡等羶楔]無法超過在他前面慢慢爬行的烏龜。因爲他必須首先到達烏龜的出發點,而當他到達那一點時,烏龜又向前爬了。因而烏龜必定總是跑在前頭。這個論點同兩分法悖論一樣,所不同的是不必把所需通過的路程一再平分。

“飛矢不動”:飛著的箭在任何瞬間都是既非靜止又非運動的。如果瞬間是不可分的,箭就不可能運動,因爲如果它動了,瞬間就立即是可以分的了。但是時間是由瞬間組成的,如果箭在任何瞬間都是不動的,則箭總是保持靜止。所以飛出的箭不能處於運動狀態。

“操場或遊行隊伍”:A、B兩件物體以等速向相反方向運動。從靜止的C看來,比如說,A、B都在1小時內移動了2公里;可是,從A看來,則B在1小時內就移動了4公里。由於B保持等速移動,所以移動2公里的時間應該是移動4公里時間的一半。因而一半的時間等於兩倍的時間。

  儘管我們可以憑藉直覺的信念,很輕易的否定芝諾悖論的結論;儘管芝諾最後因爲叛國罪或諸如此類的事情而丟掉了腦袋,但是芝諾所揭示的矛盾卻是深刻而複雜的。前兩個悖論詰難了關於時間和空間無限可分,因而運動是連續的觀點;後兩個悖論詰難了時間和空間不能無限可分,因而運動是間斷的觀點。從某種程度上,芝諾悖論的出現預言了兩千年後,將會圍繞微積分的出現而爆發的第二次數學危機。

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文章: 2165
註冊時間: 2003-12-30






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