[問題]三角不等式

[問題]三角不等式

galaxylee 於 星期四 八月 18, 2005 5:08 pm


設A,B,C為三角形ABC的三內角,x,y,z是實數
證明:x^2 + y^2 + z^2 ≧ 2yzcosA + 2zxcosB + 2xycosC

galaxylee
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[數學]不等式

qeypour 於 星期五 八月 19, 2005 10:51 am


原式相當於證明x^2-x(2ycosC+2zcosA)+y^2+z^2-2yzcosA>=0
等價於(2ycosC+2zcosA)^2-4(y^2+z^2-2yzcosA)<=0
等價於-4(sinB)^2*z^2+(8ycosBcosC+8ycosA)*z-4(sinC)^2*y^2<=0
等價於(8ycosBcosC+8ycosA)^2-64y^2(sinB)^2*(sinC)^2<=0.......(1)
只要證(1)式成立即可,證明如下

64y^2(cosBcosC+cosA)^2-64y^2(sinB*sinC)^2
=64y^2(cosBcosC+cosA+sinBsinC)(cosBcosC+cosA-sinBsinC)
=64y^2[cos(B-C)+cosA]*[cos(B+C)+cosA]
其中cos(B+C)=-cosA代入上式=0
(1)式為0>=0,得證

qeypour
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qeypour 於 星期五 八月 19, 2005 5:14 pm


這題galaxylee兄有另解嗎?

qeypour
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galaxylee 於 星期日 八月 21, 2005 9:56 pm


qeypour 寫到:這題galaxylee兄有另解嗎?


我採取強迫配方法
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

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解析幾何及三角函數