[問題]那裡有錯

[問題]那裡有錯

qeypour 於 星期四 八月 11, 2005 5:39 pm


x,y都是>=0的數
x+y=1
2x+y>=2sqrt(2x*y)
等號成立2x+y有最小值
此時2x=y=2/3
2x+y最小值為4/3

但這答案卻是錯的
請問那裡有問題?

qeypour
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Raceleader 於 星期四 八月 11, 2005 5:45 pm


(1/2)(2x+y)>=sqrt(2x*y)
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qeypour 於 星期四 八月 11, 2005 5:51 pm


Raceleader 寫到:(1/2)(2x+y)>=sqrt(2x*y)


啊,漏打2
已補上
那裡有問題?

qeypour
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Raceleader 於 星期四 八月 11, 2005 6:16 pm


x,y都是>=0的數
x+y=1
2x+y>=2sqrt(2x*y)
等號成立2x*y有最大值
此時2x=y=2/3
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qeypour 於 星期四 八月 11, 2005 6:25 pm


Raceleader 寫到:x,y都是>=0的數
x+y=1
2x+y>=2sqrt(2x*y)
等號成立2x*y有最大值
此時2x=y=2/3



可是2x*y的最大值確定是1/2
發生在x=y=1/2時

qeypour
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galaxylee 於 星期四 八月 11, 2005 8:09 pm


2x+y ≧ 2√(2xy)
等號成立時( 即2x+y = 2√(2xy) 時)
<=> 2x=y=2/3,2x+y = 2√(2xy) = 4/3
這時"≧"已失去作用,所以不能保證在2x=y=2/3下,2x+y有最小值4/3,頂多知道2x+y=4/3。

一般而言,用算幾不等式求極值,一定要配出不等號有一邊是定數(常數)
而得出另一邊的"範圍",然後再觀察等號成立時,是否合理,若是,則另一
邊的極值才是此常數;若否,這常數仍不是另一邊的極值。

正確解:用線性規劃
x,y ≧ 0,且x+y=1,圖形是x+y=1在第一象限的線段,端點(1,0),(0,1)
設2x+y=k,則2x+y的極值出現在端點(1,0),(0,1)處
(1,0)代入,k=2;(0,1)代入,k=1
所以2x+y的最大值為2,最小值為1。

galaxylee
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Raceleader 於 星期四 八月 11, 2005 8:12 pm


但 x=0, y=1, 2x+y=1 > 0 = 2sqrt(2x*y)
而 x=1, y=0, 2x+y=2 > 0 = 2sqrt(2x*y)
所以不能用算幾求2x+y極值
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