[問題]幾何問題

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galaxylee 於 星期一 八月 08, 2005 4:41 pm


已知三角形ABC的各邊長皆為整數,且面積亦為不大於10的整數值,試找出所有可能的

三角形△ABC。(我沒有答案,大家討論看看)

galaxylee
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娜可兒 於 星期一 八月 08, 2005 8:03 pm


如果不限定是銳角三角形的話,答案將會是無限多個

呵呵呵,漏看了一個條件,面積也要是整數,所以上述結論是錯誤的
*真正熱愛數學的人,是重質不重量的
 希望大家成為數學狂熱者,而不是積分狂熱者
 別做讓版管為了您的文而頭疼的小白!

*知識的價值 不在於你能擁有多少
 而是在於你要如何活用於生活之中
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

娜可兒
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lcflcflcf 於 星期一 八月 08, 2005 8:03 pm


用heron thm.來求吧
設三邊為a,b,c
s=(a+b+c)/2
A^2=s(s-a)(s-b)(s-c)
首先三邊一定是三偶或兩奇一偶(即三邊之和為偶數)
s不能為質數

若其中一條邊為1,其餘兩邊之長必為一樣
但因奇偶性,a+b+c為奇數
所以邊長不能為1

若其中一邊長為2,其餘兩邊之長只能一樣或是差一
但後者,a+b+c為奇數,所以其餘兩邊必一樣
let a be 2,b=c
A^2=s(s-a)(s-b)(s-c)
由於b=c,所以(s-b)(s-c)為平方數
s(s-2),s不能為平方數,(s-2)|s,s只能為4,但不合題意

若其中一邊為3,其餘二邊差二/差一/一樣
但差二/一樣的話,a+b+c為奇數,所以只能差一
(a,b,c)可為(3,4,5),(3,6,7),(3,7,8)...
但(3,7,8)面積已大於10,而(3,6,7)不合題意
只有(3,4,5)合題意=====================================>此為一題

若其中一邊為4,其餘兩條只能差二及一樣
if 有兩條一樣,(s-4)|s,所以s只能為6,8,但都不合題意
if 差二,(4,4,6)(4,5,7),(4,6,8)(4,7,9)...
(4,4,6)及(4,6,8)三數互不互質而分別與(2,2,3)(2,3,4)相似,所以不合
(4,7,9)面積已大於10,而(4,5,7)卻不合題意

除了(3,4,5)外,滿足題意的邊長不可能為1,2,3,4
邊長有5的最小三角形是(5,5,5),但面積已大於10

所以符合題意的三角形的三邊只有(3,4,5)


我覺得我自己這個解怪怪的
不知其他解會是怎樣呢?
人人為我 我為人人
~就讓一切隨風~

lcflcflcf
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[數學]面積

訪客 於 星期一 八月 08, 2005 9:14 pm


海龍公式知s(s-a)(s-b)(s-c)=1,4,9,16,25,36,49,64,81,100...........(1)
假設a<=b<=c
則s>s-a>=s-b>=s-c
令s-a=x,s-b=y,s-c=z,解出s=x+y+z
(1)式為(x+y+z)xyz=1,4,9,16,25,36,49,64,81,100(其中x>=y>=z)
結果僅x=3,y=2,z=1有可能
s-a=3,s-b=2,s-c=1解出a=3,b=4,c=5

訪客

 

galaxylee 於 星期二 八月 09, 2005 12:41 am


感謝 lcflcflcf 及 訪客 ,答案只有(3,4,5),應該是不會錯。

galaxylee
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