[數學]雷劈數(Kaprekar number)

[數學]雷劈數(Kaprekar number)

J+W 於 星期五 八月 05, 2005 11:21 pm


雷劈數

   有位外國數學家叫卡普利加,在一次旅行中,遇到猛烈的暴風雨,電閃雷鳴過後,他看到路邊一塊里程碑,被雷電劈成兩半,一半上刻著30,另一半刻著25。這時,卡普利加的腦際中忽然發現了一個絕妙的數學關係——

把劈成兩半的數加起來,再平方,正好是原來的數位。除此之外,還有沒有別的數,也具有這樣的性質呢?
    熟悉速算的人很快就找到了另一個數:2025
20+25=45

按照第一個發現者的名字,這種怪數被命名爲“卡普利加數”,又稱“雷劈數”。
    現在已有許多辦法搜尋這種數,但最簡便的辦法是在9與11的倍數中尋找。例如上面提到的55,它是11的倍數,45是9的倍數。用這種辦法,人們果然找到了一個極其有趣的7777,不難驗算:
6048+1729=7777
    前蘇聯的一個小朋友卡嘉也發現了一個新的“雷劈數”,它是9801。98+1=99,
從以上提到的4個“雷劈數”,我們不難發現同一情況:偶數+奇數=奇數,奇數的平方=奇數。3025,2025,9801和60481729都是奇數。那麽,有沒有偶數雷劈數存在呢?
    答案是肯定的。7年以前,瀘州師範附小的一位同學,就發現了偶數“雷劈數”:100,因爲10+0=10,,經過驗證,100是最小的偶數雷劈數,也有可能它是唯一的偶數雷劈數。這位同學還發現了最小的奇數雷劈數:81,因爲,8+1=9,
    可以推測:在數學王國堙A數值最小的雷劈數只有1個,數值較大的雷劈數會有無數個存在,其中的奧秘還有待人們去不斷探索。
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喀普利卡數

印度境內某鐵路沿線有一塊里程指示牌,上面寫著3025 公里,由於受到龍捲風的襲擊,這個四位數字也被一分為二, 其中一段顯示數字30 ,另一段顯示數字25 。有一天數學家喀普利卡(Kaprekar) 路經該地,看到這幕景象,突然心中一亮,他自言自語地說道:" 這個數好 奇怪呀! 30 + 25 = 55 ,而在平方後 ,原數不是又再次重現了嗎? " 從此以後,他就專門搜集這類數字,而別人 也把這種怪數命名為"喀普利卡數" 以下介紹日本趣味數學名家藤村幸三郎的解法。設四位數的前兩位為a ,後 兩位為y ,由"喀氏數" 的本性可列出式子: ,即 。把它看成x 的一元二次方程式,並解出 。因為2500-99y 必須是完全平方數;故y 只能等於25 或1 。抓住這個要點跟蹤 追擊,即可求出四個喀氏數3025、2025 與9801 ( 還有一個0001 ,但根據一般習 慣,不把它視為四位數,故從略)
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雷 劈 數 及 其 規 律
  據說數學家卡普利加發現了一種具有特殊性質的數,被叫作“卡普利加數”或“ 雷劈數。它們是這樣的數:如果在某一個位置上把它截成兩個整數,這兩個數的和的平方仍然等于這個數。設截斷的位置在右起第n和第n+1位之間,截成的兩個數為a與b,即

該雷劈數等于。則它符合以下關系:

………………   (1)

  第一個雷劈數是卡普利加在暴風雨中看到的、被雷電劈成兩半的里程碑上的數字3025 ,它被截成30,25兩個數,其和30+25=55的
。這就是"雷劈數"的來歷。

此后就有人熱衷于尋找新的雷劈數。據說前蘇聯的一位小朋友找到一個劈成98和 01的雷劈數:9801。在已知的一些雷劈數中,它們被劈成的兩數之和都是 9或11的倍數,或者其和減 1是 9的倍數,人們就是按這些經驗去尋找新雷劈數。中國小學生劉益找到了最小的奇數雷劈數81與偶數雷劈數100。

  雷劈數在自然數中的分布十分稀少,它們在大數中密度更小。因為它們的密度是按指數規律減少的。設<N 的雷劈數個數為 n 個,則有 log(n)/log(N)<0.175,見下表:

       log(N)    2    3    4    5    6    7    8    9   10   11   12   13   14

           n     1    2    5    7    9   11   18   21   26   32   57   59   65

log(n)/log(N) .000 .100 .175 .169 .159 .149 .157 .147 .141 .137 .146 .136 .129

  這個雷劈數密度規律是由14位自然數內的全部雷劈數表實際統計而得,而長度在14位 以內全部共66個的雷劈數表是我們用計算機找出來的。從這張已知的雷劈數表可見,雷劈 數可以是奇數,也可以是偶數,但總是成對出現的,即對于一個相同的 b值,總有兩個a1 、a2組成成對的雷劈數 a1*10︿n+b 和 a2*10︿n+b 。因為這個緣故,這張表中的雷 劈數沒有完全按大小次序來排列。注意:對于任意的 n,2n位的數10^n*(10^n-2)+1 和 2n+1位的數10^2n 可叫作平凡雷劈數,但不成為一對,而是分別與 1和 0成對,即 b=1 時有 a1=1 ,a2= 10^n-2構成一對;對于 b=0,有a1=0,a2=10^n 構成一對。

    由于雷劈數太稀少,又象素數那樣沒有確定的分布規律,要用人工發現一個雷劈數是 很困難的,特別是大的雷劈數,即使用計算機去逐個去查找,也要很多時間。因為一個 n 位數可以在 n-1個不同的位置劈開,所以要試驗n次才能確定它是不是雷劈數。這樣,要找 出所有長 n 位的雷劈數,就要試驗(n-1)*(10^(n+1)-10^n)=(n- 1)*9*10^n =1.289*10^16次,若用速度為 80兆的 486微機來計算,每秒可試驗 30000次左右,也要 13614年。所以必須分析雷劈數的性質,從中找出並利用其規律。

    由式(1)可知,當 b 已知時,該雷劈數的 a 值可以從下列方程式解出來:

    a^2 + (2b-10^n)*a +  (b^2- b)  =  0     ……………………………  (2)

    這是關于變數 a 的 2次方程式,它有兩個根 a1、a2,這就是為什麼雷劈數總是成對 的緣故。但要使(2)的根a1、a2是有效的自然數,必須使其判別式等于平方數:

   (2b-10^n)^2-4*1*(b^2-b)= 10^(2n)-4b*(10^n-1)= c^2 …… (3)

    由此式解出 b:

    b = (10^n-c)*(10^n+c)/ 4 /(10^n-1)     …………………………  (4)

只要找出一個能使 (4)式的 b是整數的整數 c,並求出(3)式的兩個根a1,a2

              -(2b-10^n)±c     10^n ± c

    a1,a2 = ──────── = ────── - b    ………………………… (5)

                    2                   2  

    即找到了一對雷劈數a1*10^n+b,a2*10^n+b。現在代替從 1檢查到 10^14找到全部 雷劈數,只要從 1檢查到10^7,找使 □式的 b是整數的 c 值,微機只要38分鐘就完成了。

    由□式我們可得每對雷劈數的和之積:(a1+b)*(a2+b)=(10^2n- c^2) /  4

再把□式的 c^2 = 10^2n-4*b*(10^n-1)代入可得:

    (a1+b)*(a2+b)= 2b*(10^n - 1)

    因為 10^n-1 是 9 的倍數,即每對雷劈數中,至少有一個是 9的倍數。當 n是偶數

時,10^n-1 還是11的倍數,即兩對雷劈數中,至少有一個的是11的倍數。這就是前面提 到的找雷劈數的經驗方法所依據的規律。 這個規律也可以由所列的雷劈數表來進行驗証:

在這66個雷劈數中,其和可同時被 9和11整除的占15%,能被 9整除的占52%,能被11整 除的占32%。但是還有32%既不能被 9整除也不能被11整除。

  以上這種雷劈數是在某個位置劈成兩個數再相加,其和的平方仍等于這個數。如果不是相加,而是相減又會是怎麼樣的呢?也就是說,劈成兩個數后,它們的差的平方等于該自然數的數也應該有吧?編個程序找了一下,果然是有的,姑且把它叫作減雷劈數。減雷劈數比原來的雷劈數少一半,它們也是成對的出現的。現在把14位數以內的28個減雷劈數也錄于后面,供大家驗証。

  

附錄1:14 位以內的雷劈數表

8 1, 10 0│      494 1729│  250500 250000│  101558 217124│     923594 037444

     20 25│     6048 1729│  217930 248900│  464194 217124│         28 005264

     30 25│     9998 0001│  284270 248900│   43470 165025│     989444 005264

     98 01│    10000 0000│  213018 248521│  626480 165025│     999998 000001

    100 00│    4938 17284│  289940 248521│   35010 152100│    1000000 000000

    88 209│   60494 17284│  152344 237969│  660790 152100│   2428460 2499481

   494 209│    3008 14336│  371718 237969│   33058 148761│   2572578 2499481

   998 001│   68320 14336│  127194 229449│  669420 148761│   1975308 2469136

  1000 000│     238 04641│  413908 229449│   21948 126201│   3086420 2469136

2450 2500│   90480 04641│  123448 227904│  725650 126201│     39390 0588225

2550 2500│   99998 00001│  420744 227904│   20408 122449│   8784160 0588225

  744 1984│  10000 000000│  108878 221089│  734694 122449│   9999998 0000001

5288 1984│ 249500 250000│  448944 221089│    1518 037444│  10000000 0000000

  

附錄2: 14 位以內的減雷劈數表

      10 0│      6 084│     10000 0000│       3306 21489│   10000000 0000000

      12 1│   1162 084│     10002 0001│     139672 21489│   10000002 0000001

    100 00│     82 369│       120 1216│   1000000 000000│     743802 3471076

    102 01│   1656 369│     12312 1216│   1000002 000001│   16198350 3471076

  1000 000│    132 496│   100000 00000│    113322 449956│

  1002 001│   1860 496│   100002 00001│   1786590 449956│

原文是簡體的

http://chancezoo.soyuan.net/qixiang/lps.htm

可以利用這裡翻成繁體

繁簡互換網頁:

http://www.ee.tku.edu.tw/~rexchen/convert/index.html

J+W
版 主
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文章: 2165
註冊時間: 2003-12-30






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