[教學]逼近方法

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12345678910 於 星期一 七月 11, 2005 8:01 pm


逼近方法

Approximation Method

  

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數學經常被描述成一門討論抽象世界(觀念或符號)的學問,但是除了希臘歐氏幾何學的異例,從數學史的觀點來說,不論是早期的各文化發展出來的數學,或是晚近以西方數學為主的數學,其「利用厚生」的色彩,作為現實生活應用的工具的角色,仍然舉足輕重。

以圓周率π為例,「徑一周三」是先民素樸的估計值,祖沖之的約率 ,密率  也還是實用的近似值。事實上人類要到十九世紀才知道π是一個無理數、超越數。從實用到抽象的光譜中,一端是「徑一周三」的粗略估計,另一端是像歐拉公式  般的「理想」等式。

從實用的觀點,過分精確並不是美德,對又快才是目標。在數學中處理這問題的領域,稱為逼近理論與數值分析。將以實數,無窮步驟為本的數學,轉換為以有理數,有限步驟為本的另一種數值數學。通常它的課題常牽涉到兩個層次


(1)逼近的層次:要徹底掌握下列的等式






其中 n 是可控的參數,而誤差 (n) 會隨著 n 變大而趨近於 0,因此這裡的問題既牽涉到如何構作逼近式,同時也要能瞭解誤差式的性質。最典型的例子是泰勒定理。


(2)效率的層次:同樣的理想數(式)可能有不同的逼近式,怎樣才能在計算的速度上最佳化,也是一個重要的實際課題。
由於逼近顯然牽涉到極限的觀念,因此微積分的課題中提供了基本又豐富的素材。例如:

(1)數的逼近:





(後者比前者的逼近的速度要快多了)

(2)函數的逼近式:







(3)定積分的數值逼近:以 Simpson 法為例






其中  , ,且 n 為偶數。Simpson 法的誤差會 ,其中 M4 是 f(4)(x) 在 [a,b] 中的最大值


(4)方程式根的求法:牛頓法, 。

(5)微分方程的數值解:如歐拉法。
逼近方法所牽涉到的微積分的觀念,包括線性逼近、泰勒定理、插值法與差和分的觀念。

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初學者
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註冊時間: 2005-06-29






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