[數學]問e問題

[數學]問e問題

chongxe 於 星期三 五月 11, 2005 2:37 pm


為什麼lim(1+1/x)^x  ,  x->infinite  = e

為什麼 e^x的微分還是e^x

chongxe
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Eclipse 於 星期五 五月 20, 2005 12:06 pm


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Eclipse
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Re: [數學]問e問題

元首 於 星期五 四月 21, 2006 6:36 pm


chongxe 寫到:為什麼lim(1+1/x)^x  ,  x->infinite  = e

為什麼 e^x的微分還是e^x
 
第一題沒得解
因為這只是e的定義
好像你要定義π
它不就是圓周與直徑之比嗎?
這只是定義!
 
而為什麼ex的積分還是ex,
則可以解,
設我們不知道哪一個funtion的積分還是它自己,設它是y
 
∫ydx=y
兩邊取導數
y=dy/dx
移項得
dy/y=dx
兩邊積分,
In y=x
移項得
y=ex
所以ex的積分等於它自己
 
 
 
 
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元首
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p 於 星期四 四月 27, 2006 11:36 pm


元首寫到:

第一題沒得解
因為這只是e的定義
---------

似乎不對,
e的定義有二,
1.lim(1+1/n)^n ,n→∞ ,n屬於N
2.lim(1+1/1!+1/2!+1/3!+----+1/n!)  ,n→∞, n屬於N

而lim(1+1/x)^x=e  ,x→∞ ,x屬於R, 是需要証明的.
証明方式, 可令n=[x]

p
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linch6123 於 星期日 五月 07, 2006 11:39 pm


元首寫到:
而為什麼e^x的積分還是e^x,
則可以解,
設我們不知道哪一個funtion的積分還是它自己,設它是y

∫ydx=y
兩邊取導數
y=dy/dx
移項得
dy/y=dx
兩邊積分,
In y=x
移項得
y=e^x
所以e^x的積分等於它自己




這裡似乎沒有把事情解決
因為證明過程用了

lnx的微分 = 1/x    跟   lnx和e^x  為反函數的性質

如果能證明
若lnx的微分 = 1/x    則  lnx和e^x  為反函數

或是

若lnx和e^x  為反函數   則 lnx的微分 = 1/x
會比較完整

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Errfree 於 星期三 五月 10, 2006 1:04 am


對 f(x) 微分的定義如下:
image file name: 2kddf4e8a63b.png

那麼對 loga(x) 的微分, 就可以寫成如下: (以下用 h 符, 來代替 △x 這個增量符).
image file name: 2k991d35de8a.png
 
把 1/h 先提出來
image file name: 2kb99e7a3737.png
 
兩個 Log 相減, 等於 Log 內兩值相除
image file name: 2k2711d874d3.png
image file name: 2kb2b0bd45be.png
 
把外面的 1/h 抓到 Log 內當次方.
image file name: 2kd31d2962eb.png
 
再抓 x 到 Log 內當次方, 所以外面就要補一個 1/x .
image file name: 2k27a5b819a7.png
 
那 Log 內就是 e 的定義了!
image file name: 2k94f981332d.png
 
當 a = e 時, Loge(e) = Ln(e) = 1

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linch6123 於 星期五 五月 12, 2006 5:59 pm


Errfree大大的解題總是清楚易懂,很喜歡你圖文並茂的解法

小弟把上面的作一下整理 ,有錯請指正


(1) 數列 a_n =(1+1/n)^n
為遞增有上界(要證明),所以a_n 收斂,極限值存在。
既然極限值存在,定義
e=lim(1+1/n)^n 或 e=1+1+1/2!+1/3!+….1/n!+....

(2) 利用夾擠可以得到
lim(1+1/n)^n=lim(1+1/x)^x 在此x不一定要為整數

(3) 定義a^x 和logx (以a為底)互為反函數
可以得到
(lnx)'=1/x
利用
ln (e^x)=x
兩邊微分得
(1/e^x)(e^x)'=1
所以
(e^x)'=e^x

(4) 由原始定義e=lim(1+1/n)^n 則對於所有實數x
e^x=lim(1+1/n)^(nx) 或 e^x=(1+1+1/2!+1/3!+….1/n!+....)^x
但我們在微積分學習過程中都使用了
e^x=lim(1+x/n)^n 或e^x=(1+x+x^2/2!+…+.x^n/n!+......)
現在要說明
e^x=lim(1+1/n)^(nx)=lim(1+x/n)^n 且
e^x=lim(1+1+1/2!+1/3!+….1/n!+..)^x=(1+x+x^2/2!+….x^n/n!+....)

【1】 ln lim(1+1/n)^(nx)
=lim ln(1+1/n)^(nx) 因為lnx為連續函數所以lim可提到外面
=x lim ln (1+1/n)^n
=x ln lim(1+1/n)^n
=x lne
=x



【2】 ln lim(1+x/n)^n
=lim ln(1+x/n)^n
=lim n ln(1+x/n)
令t =1/n
=lim ln(1+tx)/t (羅必達)
=lim x/(1+tx)
=x

由【1】【2】和lnx為一對一函數得e^x=lim(1+1/n)^(nx)=lim(1+x/n)^n


【3】e^x =lim(1+1/n)^(nx)
= lim(1+x/n)^n
=1+1+1/2!+1/3!+….1/n!+....

linch6123
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rainy 於 星期五 五月 12, 2006 9:18 pm


(3) 定義a^x 和logx (以a為底)互為反函數
可以得到
(lnx)'=1/x
=============================
請稍加說明
謝謝!
討論熱烈   非常精采!!!

rainy
訪客
 

linch6123 於 星期六 五月 13, 2006 1:43 am


[quote="rainy"](3) 定義a^x 和logx (以a為底)互為反函數
可以得到
(lnx)'=1/x
=============================
請稍加說明


上面Errfree大大所寫的就是證明過程,我使用了他的結論

linch6123
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