[數學]數學無窮思想的發展歷程

[數學]數學無窮思想的發展歷程

J+W 於 星期日 四月 17, 2005 12:32 pm


數學無窮思想的發展歷程

      引言  

  無窮作爲一個極富迷人魅力的辭彙,長期以來就深深激動著人們的心靈。徹底弄清這一概念的實質成爲維護人類智力尊嚴的一種需要。而數學是“研究無限的學科”,因此數學就責無旁貸地擔當起征服無窮的重任。我們在本文中將簡要介紹一下數學中無窮思想發展的歷程光輝的

      起點:數學無窮發展的萌芽時期  

  早在遠古時代,無限的概念就比其他任何概念都激動著人們的感情,而且遠在兩千年以前,人們就已經産生了對數學無窮的萌芽認識。  在我國,著名的《莊子》一書中有言:“一尺之棰,日取其半,而萬世不竭。”從中就可體現出我國早期對數學無窮的認識水平。而我國第一個創造性地將無窮思想運用到數學中,且運用相當自如的是魏晉時期著名數學家劉徽。他提出用增加圓內接正多邊形的邊數來逼近圓的“割圓術”,並闡述道:“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至於不可割,則與圓周合體而無所失矣。”可見劉徽對數學無窮的認識已相當深刻,正是以“割圓術”爲理論基礎,劉徽得出徽率,而其後繼者祖沖之更是得出了圓周率介於3.1415926與3.1415927之間的領先國外上千年的驚人成果。

  在國外,早在畢達哥拉斯關於不可公度量的發現及關於數與無限這兩個概念的定義中已孕育了微積分學的關於無窮的思想方法。德謨克利特和柏拉圖學派探索過無窮小量觀念。歐多克索斯、安蒂豐、數學之神阿基米德所運用的窮竭法已備近代極限理論的雛形,尤其是阿基米德對窮竭法應用之熟練,使後人感到他在當時就已接近了微積分的邊緣。

  由此,我們可以看到在數學無窮思想發展之初,古人就已在這個領域開創了一個光輝的起點。

      首創風波:芝諾悖論

  雖說,古人對無窮已有了較深刻認識,然而人們對無限的認識是缺乏嚴密的邏輯基礎的。可以說,對於只熟知有限概念的人們來說“無限”這一概念仍然是陌生與神秘的。芝諾悖論的提出清楚地表明瞭這一點。

  芝諾,西元前五世紀中葉古希臘哲學家。他提出的四個悖論雖是哲學命題。但卻對數學無窮思想的發展産生了直接且深遠影響。這媔舉其悖論之一。

  阿基奡筑紗蛂G跑得最快的阿基奡等羶楣l不上爬得最慢的烏龜。大意是說甲跑的速度遠大於乙,但乙比甲先行一段距離,甲爲了趕上乙,須超過乙開始的A點,但甲到了A點,則乙已進到A1點,而當甲再到A1點,則乙又進到A2點,依次類推,直到無窮,兩者距離雖越來越近,但甲永遠在乙後面而追不上乙。

  這顯然違背人們常識的芝諾悖論,因與無限問題密切相連,就使得古希臘人對無窮有些望之卻步靜而遠之了。同時也導致古希臘數學家不得不把無限排斥在自己的推理之外了。

  芝諾悖論就這樣一直困惑著人們,問題的癥結何在呢?嶄新一頁:微積分學的誕生  隨著時代的發展,實踐中提出了越來越多的數學問題,待數學家們加以解決,如曲線切線問題、最值問題、力學中速度問題、變力做功問題……初等數學方法對此越來越無能爲力,需要的是新的數學思想、新的數學工具。不少數學家爲此做了不懈努力,如笛卡爾、費馬、巴羅……並取得了一定成績,正是站在這些巨人的肩膀上,牛頓、萊布尼茲以無窮思想爲據,成功運用無限過程的運算,創立了微積分學。這新發現、新方法的重要性使當時的知識界深感震驚,因而出現了一門嶄新的數學分支:數學分析。這一學科的創立在數學發展史上翻開了嶄新一頁,譜寫了光輝動人的樂章。風波再起:貝克萊悖論  通往真理的路總是坎坷不平,佈滿了艱辛,探求無窮之徑更絕非坦途。

  十七世紀後期,牛頓、萊布尼茲創立微積分學,成爲解決萓h問題的重要而有力的工具,並在實際應用中獲得了巨大成功,然而,微積分學産生伊始,迎來的並非全是掌聲,在當時它還遭到了許多人的強烈攻擊和指責,原因在於當時的微積分主要建立在無窮小分析之上,而無窮小後來證明是包含邏輯矛盾的。1734年,大主教貝克萊寫了本《分析學家》的小冊子,在這本小冊子中,他十分有效地揭示了無窮小分析方法中所包含的這種邏輯矛盾。這就是所謂的“貝克萊悖論”。籠統地說,貝克萊悖論可以表述爲“無窮小量究竟是否爲零的問題”就實際應用而言,它必須既是零,又不是零。而從形式邏輯角度而言,這無疑是一個矛盾。貝克萊悖論,動搖了人們對微積分正確性的信念,在當時數學界引起了一定混亂,從而導致了數學史上所謂的第二次數學危機。出路在何方?發明的世紀:十八世紀  微積分産生後,一方面在應用中大獲成功,另一方面其自身卻存在著邏輯矛盾,即貝克萊悖論,也就是說,正確的(尤其是在幾何應用上是驚人的)結果卻是通過肯定不正確的數學途徑得出的。這把數學家們推到了尷尬境地。在對微積分的取捨上到底何去何從呢?

  “向前進,向前進,你就會獲得信念!”達朗貝爾吹起不顧一切奮勇向前的號角,在此號角的鼓舞下,十八世紀的數學家們開始不顧基礎的不嚴格,論證的不嚴密,而是更多依賴于直觀去開創新的數學領地。於是一套套新方法、新結論以及新分支紛紛湧現出來。經過一個多世紀的漫漫征程,幾代數學家,包括達朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉普拉斯以及集萛a之大成的歐拉等人的努力,數量驚人前所未有的處女地被開墾出來,微積分理論獲得了空前豐富。因而數學史家把這一時期稱爲發明的世紀。

      光輝樂章的不和諧音

  微積分産生之初,對基礎不牢的指責,以及由此引發的爭論,一直就是微積分學奏出的光輝樂章中的不諧和音。然而在十八世紀,它被微積分應用中驚人的成功所贏得的震耳掌聲暫時掩蓋了。經過數學發明的十八世紀後,數學建築擴大了,房子蓋得更高了,而基礎卻沒有補充適當的強度。十八世紀粗糙的,不嚴密的工作導致謬誤越來越多的局面,不諧和音的刺耳開始震動了數學家們的神經。下面僅舉一無窮級數爲例。
  無窮級數S=1-1+1-1+1………到底等於什麽?

  當時人們認爲一方面S=(1-1)+(1-1)+………=0;另一方面,S=1+(1-1)+(1-1)+………=1,那麽豈非0=1?這一矛盾竟使傅立葉那樣的數學家困惑不解,甚至連被的後人稱之爲數學家之英雄的歐拉在此也犯下難以饒恕的錯誤。他在得到
  1 + x + x^2 + x^3 + ..... = 1/(1- x)

   后,令 x = -1,得出S=1-1+1-1+1………=1/2!

  由此一例,即不難看出當時數學中出現的混亂局面了。問題的嚴重性在於當時分析中任何一個比較細緻的問題,如級數、積分的收斂性、微分積分的換序、高階微分的使用以及微分方程解的存在性……都幾乎無人過問。尤其到十九世紀初,傅立葉理論直接導致了數學邏輯基礎問題的徹底暴露。這樣,消除不諧和音,把分析重新建立在邏輯基礎之上就民成爲數學家們迫在眉睫的任務。

      重建微積分基礎

  十八世紀富有成果然而欠嚴謹的工作,導致數學中出現了暫時的混亂局面。到十九世紀,批判、系統化和嚴密論證的必要時期降臨了。

  使分析基礎嚴密化的工作由法國著名數學家柯西邁出了第一大步。柯西於1820年研究了極限定義,並創造性地用極限理論把微積分學中的定理加以嚴格的系統的證明,使微積分學有了較堅實的理論基礎,同時柯西也因之成爲加固微積分學基礎的第一位巨匠。但柯西工作中仍存在著兩點主要的不足。其一,他的極限定義用了描述性語言“無限的趨近”“隨意小”,不夠精確。這一點由德國數學家魏爾斯特拉斯給出精確描述數列極限的“ε-δ ”方法和函數極限的“ε-δ”方法,把微積分奠基於算術概念的基礎上,獲得了圓滿解決。其二,他對單調有界定理的證明借助了幾何直覺。魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經過自己獨立深入的研究,都將分析基礎歸結爲實數理論,並於七十年代各自建立了自己完整的實數體系,這樣數學分析的無矛盾性問題歸納爲實數論的無矛盾性,從而使微積分學這座人類數學史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎之上。重建微積分學基礎,這項重要而困難的工作就這樣經過許多傑出學者的努力而勝利完成了。微積分學堅實牢固基礎的建立,結束了數學中暫時的混亂局面,同時也宣佈了第二次數學危機的徹底解決。

      康托爾的不朽功績:向無限冒險邁進

  十九世紀,由於萓h傑出數學家的努力,微積分工具被改進爲嚴格的分析體系。同時由於嚴格追問微積分的邏輯,德國數學家康托爾把無窮集合引入辭彙,從而發現了無窮集這一數學新辭彙,開闢出一個廣大而又從未人知的世界。

  康托爾以其集合論的成就被譽爲對20世紀數學發展影響最深的學者之一。他從研究“收斂的傅立葉級數所表示的函數存在不連續”這一事實,提出無窮集合的概念,並以一一對應關係爲基本原則,尋求無窮集合的“多少”關係。他把兩個能一一對應的集合稱爲同勢,利用勢他將無限集進行了分類,最小的無限集爲可數集a,即指與自然數集等勢的無窮集。進一步,康托爾證明實數集的勢c>a,一切實函數的勢f>c,並且對任何一個集合,均可造出一個具有更大勢的集合,即是說沒有最大的勢。鑒於此,1896年康托爾根據無窮性有無窮多學說,制訂了無限大算術,對各種無窮大建立了一個完整序列,他用希伯來字母表中第一個字母阿列夫來表示這些數。於是, 直至無窮。無窮集合自身又構成了一個無窮序列。所謂樓外有樓,天外有天了。這就是康托爾創立了超限數理論。康托爾的工作,在發表之初遭到許多人的嘲笑與攻擊。克羅內克有句名言:上帝創造了自然數,其他都是人爲的。他完全否認並攻擊康托爾的工作,稱“康托爾走進了超限數的地獄”,更有人嘲笑康托爾關於無窮的等級的超限數理論純粹爲“霧中之霧。前後經過20餘年,康托的工作才最終獲世界公認,並贏得極大讚譽。羅素稱讚說:“Cantor的工作可能是這個時代所能誇耀的最偉大的成就。”希爾伯特稱其超限理論爲“數學思想的最驚人的産物,在純粹理性的範疇中人類智力的最美的表現之一。”康托集合論的提出標誌了近代數學的開端。他的觀點中,無窮集合是被看作一個現實的,完成的,存在著的整體,是可認識,可抓住的東西。他的無窮集合理論令世人耳目一新。中途的輝煌

  極限理論、實數理論使微積分學建立在嚴格的邏輯基礎之上,而實數論又可在自然數論和無窮集合論的基礎上發展起來,進一步自然數論完全可在集合論中推出。這樣一來,實數論的融貫性就歸於集合論的融貫性,歸結到集合論,看來數學絕對嚴格的目的要達到了。1900年在世界數學家大會上,著名數學家龐加萊鄭重宣佈:“現在我們可以說,數學最終的嚴格性基礎已經確立了。”表達了數學家們欣欣自得的共同心情。尤其通過康托爾的工作,數學家們找到了營造數學大廈的基石:集合論。而他的無窮集合,也就成了數學家們的伊甸園。這樣,從微積分誕生之日起,數學家們歷經200多年的艱苦努力,終於迎來了輝煌的勝利。一波三折:羅素悖論的提出及解決  正當數學家們在無窮集合的伊甸園中優哉遊哉,並陶醉於數學絕對嚴格性的時候,一個驚人的消息迅速傳遍了數學界。

  “集合論是有漏洞的!”這就是,1902年,羅素得出的結論。

  羅素構造了一個集合U,U由所有不屬於自身的集合組成,U顯然存在,但U是否屬於自身呢?無論回答是否都將導致矛盾,這就是著名的羅素悖論。羅素悖論相當簡明,以致幾乎沒有什麽可以辯駁的餘地,然而它卻動搖了整個數學大廈的基石:集合論。  “絕對嚴密”“天衣無縫”的數學,又一次陷入了自相矛盾與巨大裂縫的危機之中。原本已平靜的數學水面,因羅素悖論的投入,又一石激起千重浪,令數學家們震驚之餘有些驚慌失措,這就導致了數學史上所謂的“第三次數學危機。”
  危機是由康托爾研究的無限集合引發的。危機産生後,包括羅素本人在內的萓h數學家投入到解決危機的工作中去。1908年,策梅羅提出公理化集合論,後經改進形成無矛盾的集合論公理系統,簡稱ZF公理系統,使原本直觀的集合概念建立在嚴格的公理基礎之上,從而避免了羅素悖論的産生,在表層上解決了第三次數學危機。柳暗花明又一村:無窮小重返數學舞臺

  17世紀下半葉,牛頓、萊布尼茲創立的微積分學,用了無窮小量的概念,但因對其解釋含糊不清,出現了貝克萊悖論,導致數學史上的“第二次數學危機”,19世紀,柯西、維爾斯特拉期等人引入極限論、實數論,使微積分理論嚴格化,從而避免了貝克萊悖論,圓滿解決了第二次數學危機。然而與此同時,極限方法代替了無限小量方法。無窮小量作爲“消失了量的幽魂”被排斥在數學殿堂之外了。

  1960年,美國數理邏輯學家A魯濱遜指出:現代數理邏輯的概念和方法爲“無限小”、“無限大”作爲“數”進入微積分提供了合適的框架,無窮小量堂而皇之地重返數壇,成爲邏輯上站得住腳的數學中的一員,被認爲是“復活了的無窮小”。這樣微積分創立300年後,第一個嚴格的無窮小理論才發展起來。回顧微積分學發展的歷史,無窮小分析法――極限方法――無窮小分析法,否定之否定,微積分學基礎獲得了進一步發展。實無限、潛無限

  認真考察無窮在數學中的發展歷程,可以注意到在數學無窮思想中一直存在著兩種觀念:實無限思想與潛無限思想。所謂潛無限思想是指:“把無限看作永遠在延伸著的,一種變化著成長著被不斷産生出來的東西來解釋。它永遠處在構造中,永遠完成不了,是潛在的,而不是實在。把無限看作爲永遠在延伸著的(即不斷在創造著的永遠完成不了的)過程。所謂實無限思想是指:把無限的整體本身作爲一個現成的單位,是已經構造完成了的東西,換言之,即是把無限物件看成爲可以自我完成的過程或無窮整體。數學中無限的歷史實際上是兩者在數學中合理性的歷史。

  亞堣h多德只承認潛無限,使其在古希臘數學中占統治地位。文藝復興時期後,實無限在數學中統治了三個世紀。17世紀下半葉,牛頓、萊布尼茲創立的微積分學也是以實無限小爲基礎的,在其理論中,無窮小量被看作一個實體,一個物件,正因此,早期微積分又被稱之爲“無窮小分析”。這種以實無限思想爲據的理論在其産生後的一個世紀被廣大數學家所使用,因而使這段時期成爲實無限黃金時期。微積分被形容爲一支關於“無窮的交響樂”。但由於當時人們對無窮小量概念認識模糊,導致産生了貝克萊悖論及一系列荒謬結果。在高斯時代,實無限已開始被抛棄了,尤其到了十八世紀末至十九世紀約百年時間中,隨著重建微積分基礎工作的完成,無窮小量被拒之于數學大廈之外,無窮小被看作實體的觀念在數學分析中亦被驅除了,而代之以“無窮是一個逼近的目標,可逐步逼近卻永遠達不到”的潛無限觀念。這種思想突出表現中現在標準分析中關於極限的定義中,並由此建立起了具有相當牢固基礎的微積分理論,使得潛無限思想在這段時期深入人心。然而,到本世紀六十年代,A魯濱遜創立的非標準分析,使無窮小量再現光輝,榮歸故里,重新堂而皇之的登進數學的殿堂,而可與柯西的極限分庭抗衡了。尤其,在康托爾的無窮集合論中,體現的也是“無窮集合是一個現實的、完成的“存在著的整體”的實無限思想,這就足以使得實無限思想可與潛無限思想形成“雙峰對峙”“炮馬爭雄”的局面了。

  那麽,無窮到底是實無限,抑或是潛無限呢?  兩種無窮思想在數學上經歷過“江山代有才人出,各領風騷數百年”的此消彼長與往復更圊寣A已在現代數學中日趨合流,實際上現在數學中早已是既離不開實無限思想也離不開潛無限思想了。標準分析與非標準分析的使用表明:用兩種不同的無窮思想爲據,採取不同的方式卻可以得出完全相同的結果。這殊路同歸的結局,意味著兩種無窮思想可以避開“兩虎相爭,必有一傷”而走向“平分秋色,輝映成趣”了。

  當我們上升到哲學高度時,可能會獲得對兩者關係的更清楚認識。

  辯證法告訴我們,要從整體,從兩方面看問題。如同我們所熟悉的“金銀盾”的故事那樣,看到金一面的說是金盾,見到銀一面的說是銀盾,而實際上對盾的認識應是“一面是金,一面是銀”,數學家們對無窮的認識亦相仿。看到無窮實在性一方面的說無窮是實無窮,見到無窮潛在性一面說無窮是潛無限,但對無窮的認識只能是“無窮既是實無限,又是潛無限”,無窮本身就是一個矛盾體,它既是一個需無限趨近的過程,又是一個實體,一個可研究的物件。在這一矛盾體中,矛盾的一方是實無限,另一方是潛無限而無窮正是這矛盾雙方的對立統一。事物並非只是“非此即彼”而是可以“亦此亦彼”的。潛無限作爲矛盾體的一面,是對有窮的直接否定,而實無限作爲矛盾體的另一面則是對潛無限的否定,是否定之否定。誠如徐利亞教授提出的無窮雙相性理論:實無限、潛無限只是一枚硬幣的兩面罷了。――這倒並非是哲學的玄奧思辯,而是辯證法爲我們上的生動一課。

      結語

  “數學是研究無窮的學科。”數學與無窮確實有著不解之緣。認識論說,人的認識總是由具體到抽象,而這一認識過程從一定角度看也可以說是由有限到無限的邁進,而數學是最具抽象性的學科,這亦足以說明在向無限的邁進中,數學達到的層次是最深入的。並且在數學中,無窮是永遠無法回避的。因爲數學證明就是用有限的步驟解決涉及無窮的問題。數學與無窮間的關係是剪不斷、理還亂的。從數學産生之日起,無窮就如影如隨,伴著數學的發展齊步前進。尤其當微積分産生後,數學與無窮的聯繫就更緊密了。恩格斯說:“萊布尼茲是研究無限的數學的創始人。”誠如恩格斯所言,從唯物辯證法角度來看,數學的發展從初等數學到高等數學的質的飛躍,就是數學上從研究有限到研究無限的質的飛躍。微分和積分實質上都是一種極限,而極限過程就是無限過程。因此可以說,微積分在數學樹立了一座認識無窮的不朽豐碑,另外康托爾的無窮集合論也使人們對無窮的認識上升到一個新層次。

  然而“無窮既是人類最偉大的朋友,也是人類心靈寧靜的最大敵人。”(希爾伯特語)因爲征服無窮的路畢竟是這樣地難行。在數學無窮發展歷程中,我們已經看到征服無窮的路途中,悖論是一次次出現:芝諾悖論、貝克萊悖論、羅素悖論的出現即爲例證。雖說,歷經幾百年,數代數學家的艱苦努力,建立的極限論、實數論、ZF公理系統解決了這些悖論及由此導致的危機。然而悖論的的清除,矛盾的回避也導致了數學確定性的一步步喪失。第三次數學危機只是於表面上解決了,實質上更深刻地以其他形式延續著。希爾伯特曾企圖用形式主義“一勞永逸地消除任何對數學基礎可靠性的懷疑。”然而其一攬子解決方案在1930年哥德爾發現不完備定理後宣告付之東流了。哥德爾的工作使人們對無窮的認識又上升了一個層次。人們開始更深刻地明白:任何想一勞永逸解決無窮問題的努力是烏托邦式工作不可能成功。認識無窮、征服無窮之途是漫漫無際的。然而數學中沒有不可知!經過一代代人的努力,人們對無窮的認識必將一次次上升到新的高度!

J+W
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Arco 於 星期五 六月 16, 2006 10:22 am


excellent:)!!
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[數學]Re: [數學]數學無窮思想的發展歷程

呂洞賓a神仙 於 星期六 九月 16, 2006 10:03 pm


J+W 寫到:數學無窮思想的發展歷程

      引言  

  無窮作爲一個極富迷人魅力的辭彙,長期以來就深深激動著人們的心靈。徹底弄清這一概念的實質成爲維護人類智力尊嚴的一種需要。而數學是“研究無限的學科”,因此數學就責無旁貸地擔當起征服無窮的重任。我們在本文中將簡要介紹一下數學中無窮思想發展的歷程光輝的

      起點:數學無窮發展的萌芽時期  

  早在遠古時代,無限的概念就比其他任何概念都激動著人們的感情,而且遠在兩千年以前,人們就已經産生了對數學無窮的萌芽認識。  在我國,著名的《莊子》一書中有言:“一尺之棰,日取其半,而萬世不竭。”從中就可體現出我國早期對數學無窮的認識水平。而我國第一個創造性地將無窮思想運用到數學中,且運用相當自如的是魏晉時期著名數學家劉徽。他提出用增加圓內接正多邊形的邊數來逼近圓的“割圓術”,並闡述道:“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至於不可割,則與圓周合體而無所失矣。”可見劉徽對數學無窮的認識已相當深刻,正是以“割圓術”爲理論基礎,劉徽得出徽率,而其後繼者祖沖之更是得出了圓周率介於3.1415926與3.1415927之間的領先國外上千年的驚人成果。

  在國外,早在畢達哥拉斯關於不可公度量的發現及關於數與無限這兩個概念的定義中已孕育了微積分學的關於無窮的思想方法。德謨克利特和柏拉圖學派探索過無窮小量觀念。歐多克索斯、安蒂豐、數學之神阿基米德所運用的窮竭法已備近代極限理論的雛形,尤其是阿基米德對窮竭法應用之熟練,使後人感到他在當時就已接近了微積分的邊緣。

  由此,我們可以看到在數學無窮思想發展之初,古人就已在這個領域開創了一個光輝的起點。

      首創風波:芝諾悖論

  雖說,古人對無窮已有了較深刻認識,然而人們對無限的認識是缺乏嚴密的邏輯基礎的。可以說,對於只熟知有限概念的人們來說“無限”這一概念仍然是陌生與神秘的。芝諾悖論的提出清楚地表明瞭這一點。

  芝諾,西元前五世紀中葉古希臘哲學家。他提出的四個悖論雖是哲學命題。但卻對數學無窮思想的發展産生了直接且深遠影響。這媔舉其悖論之一。

  阿基奡筑紗蛂G跑得最快的阿基奡等羶楣l不上爬得最慢的烏龜。大意是說甲跑的速度遠大於乙,但乙比甲先行一段距離,甲爲了趕上乙,須超過乙開始的A點,但甲到了A點,則乙已進到A1點,而當甲再到A1點,則乙又進到A2點,依次類推,直到無窮,兩者距離雖越來越近,但甲永遠在乙後面而追不上乙。

  這顯然違背人們常識的芝諾悖論,因與無限問題密切相連,就使得古希臘人對無窮有些望之卻步靜而遠之了。同時也導致古希臘數學家不得不把無限排斥在自己的推理之外了。

  芝諾悖論就這樣一直困惑著人們,問題的癥結何在呢?嶄新一頁:微積分學的誕生  隨著時代的發展,實踐中提出了越來越多的數學問題,待數學家們加以解決,如曲線切線問題、最值問題、力學中速度問題、變力做功問題……初等數學方法對此越來越無能爲力,需要的是新的數學思想、新的數學工具。不少數學家爲此做了不懈努力,如笛卡爾、費馬、巴羅……並取得了一定成績,正是站在這些巨人的肩膀上,牛頓、萊布尼茲以無窮思想爲據,成功運用無限過程的運算,創立了微積分學。這新發現、新方法的重要性使當時的知識界深感震驚,因而出現了一門嶄新的數學分支:數學分析。這一學科的創立在數學發展史上翻開了嶄新一頁,譜寫了光輝動人的樂章。風波再起:貝克萊悖論  通往真理的路總是坎坷不平,佈滿了艱辛,探求無窮之徑更絕非坦途。

  十七世紀後期,牛頓、萊布尼茲創立微積分學,成爲解決萓h問題的重要而有力的工具,並在實際應用中獲得了巨大成功,然而,微積分學産生伊始,迎來的並非全是掌聲,在當時它還遭到了許多人的強烈攻擊和指責,原因在於當時的微積分主要建立在無窮小分析之上,而無窮小後來證明是包含邏輯矛盾的。1734年,大主教貝克萊寫了本《分析學家》的小冊子,在這本小冊子中,他十分有效地揭示了無窮小分析方法中所包含的這種邏輯矛盾。這就是所謂的“貝克萊悖論”。籠統地說,貝克萊悖論可以表述爲“無窮小量究竟是否爲零的問題”就實際應用而言,它必須既是零,又不是零。而從形式邏輯角度而言,這無疑是一個矛盾。貝克萊悖論,動搖了人們對微積分正確性的信念,在當時數學界引起了一定混亂,從而導致了數學史上所謂的第二次數學危機。出路在何方?發明的世紀:十八世紀  微積分産生後,一方面在應用中大獲成功,另一方面其自身卻存在著邏輯矛盾,即貝克萊悖論,也就是說,正確的(尤其是在幾何應用上是驚人的)結果卻是通過肯定不正確的數學途徑得出的。這把數學家們推到了尷尬境地。在對微積分的取捨上到底何去何從呢?

  “向前進,向前進,你就會獲得信念!”達朗貝爾吹起不顧一切奮勇向前的號角,在此號角的鼓舞下,十八世紀的數學家們開始不顧基礎的不嚴格,論證的不嚴密,而是更多依賴于直觀去開創新的數學領地。於是一套套新方法、新結論以及新分支紛紛湧現出來。經過一個多世紀的漫漫征程,幾代數學家,包括達朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉普拉斯以及集萛a之大成的歐拉等人的努力,數量驚人前所未有的處女地被開墾出來,微積分理論獲得了空前豐富。因而數學史家把這一時期稱爲發明的世紀。

      光輝樂章的不和諧音

  微積分産生之初,對基礎不牢的指責,以及由此引發的爭論,一直就是微積分學奏出的光輝樂章中的不諧和音。然而在十八世紀,它被微積分應用中驚人的成功所贏得的震耳掌聲暫時掩蓋了。經過數學發明的十八世紀後,數學建築擴大了,房子蓋得更高了,而基礎卻沒有補充適當的強度。十八世紀粗糙的,不嚴密的工作導致謬誤越來越多的局面,不諧和音的刺耳開始震動了數學家們的神經。下面僅舉一無窮級數爲例。
  無窮級數S=1-1+1-1+1………到底等於什麽?

  當時人們認爲一方面S=(1-1)+(1-1)+………=0;另一方面,S=1+(1-1)+(1-1)+………=1,那麽豈非0=1?這一矛盾竟使傅立葉那樣的數學家困惑不解,甚至連被的後人稱之爲數學家之英雄的歐拉在此也犯下難以饒恕的錯誤。他在得到
  1 + x + x^2 + x^3 + ..... = 1/(1- x)

   后,令 x = -1,得出S=1-1+1-1+1………=1/2!

  由此一例,即不難看出當時數學中出現的混亂局面了。問題的嚴重性在於當時分析中任何一個比較細緻的問題,如級數、積分的收斂性、微分積分的換序、高階微分的使用以及微分方程解的存在性……都幾乎無人過問。尤其到十九世紀初,傅立葉理論直接導致了數學邏輯基礎問題的徹底暴露。這樣,消除不諧和音,把分析重新建立在邏輯基礎之上就民成爲數學家們迫在眉睫的任務。

      重建微積分基礎

  十八世紀富有成果然而欠嚴謹的工作,導致數學中出現了暫時的混亂局面。到十九世紀,批判、系統化和嚴密論證的必要時期降臨了。

  使分析基礎嚴密化的工作由法國著名數學家柯西邁出了第一大步。柯西於1820年研究了極限定義,並創造性地用極限理論把微積分學中的定理加以嚴格的系統的證明,使微積分學有了較堅實的理論基礎,同時柯西也因之成爲加固微積分學基礎的第一位巨匠。但柯西工作中仍存在著兩點主要的不足。其一,他的極限定義用了描述性語言“無限的趨近”“隨意小”,不夠精確。這一點由德國數學家魏爾斯特拉斯給出精確描述數列極限的“ε-δ ”方法和函數極限的“ε-δ”方法,把微積分奠基於算術概念的基礎上,獲得了圓滿解決。其二,他對單調有界定理的證明借助了幾何直覺。魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經過自己獨立深入的研究,都將分析基礎歸結爲實數理論,並於七十年代各自建立了自己完整的實數體系,這樣數學分析的無矛盾性問題歸納爲實數論的無矛盾性,從而使微積分學這座人類數學史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎之上。重建微積分學基礎,這項重要而困難的工作就這樣經過許多傑出學者的努力而勝利完成了。微積分學堅實牢固基礎的建立,結束了數學中暫時的混亂局面,同時也宣佈了第二次數學危機的徹底解決。

      康托爾的不朽功績:向無限冒險邁進

  十九世紀,由於萓h傑出數學家的努力,微積分工具被改進爲嚴格的分析體系。同時由於嚴格追問微積分的邏輯,德國數學家康托爾把無窮集合引入辭彙,從而發現了無窮集這一數學新辭彙,開闢出一個廣大而又從未人知的世界。

  康托爾以其集合論的成就被譽爲對20世紀數學發展影響最深的學者之一。他從研究“收斂的傅立葉級數所表示的函數存在不連續”這一事實,提出無窮集合的概念,並以一一對應關係爲基本原則,尋求無窮集合的“多少”關係。他把兩個能一一對應的集合稱爲同勢,利用勢他將無限集進行了分類,最小的無限集爲可數集a,即指與自然數集等勢的無窮集。進一步,康托爾證明實數集的勢c>a,一切實函數的勢f>c,並且對任何一個集合,均可造出一個具有更大勢的集合,即是說沒有最大的勢。鑒於此,1896年康托爾根據無窮性有無窮多學說,制訂了無限大算術,對各種無窮大建立了一個完整序列,他用希伯來字母表中第一個字母阿列夫來表示這些數。於是, 直至無窮。無窮集合自身又構成了一個無窮序列。所謂樓外有樓,天外有天了。這就是康托爾創立了超限數理論。康托爾的工作,在發表之初遭到許多人的嘲笑與攻擊。克羅內克有句名言:上帝創造了自然數,其他都是人爲的。他完全否認並攻擊康托爾的工作,稱“康托爾走進了超限數的地獄”,更有人嘲笑康托爾關於無窮的等級的超限數理論純粹爲“霧中之霧。前後經過20餘年,康托的工作才最終獲世界公認,並贏得極大讚譽。羅素稱讚說:“Cantor的工作可能是這個時代所能誇耀的最偉大的成就。”希爾伯特稱其超限理論爲“數學思想的最驚人的産物,在純粹理性的範疇中人類智力的最美的表現之一。”康托集合論的提出標誌了近代數學的開端。他的觀點中,無窮集合是被看作一個現實的,完成的,存在著的整體,是可認識,可抓住的東西。他的無窮集合理論令世人耳目一新。中途的輝煌

  極限理論、實數理論使微積分學建立在嚴格的邏輯基礎之上,而實數論又可在自然數論和無窮集合論的基礎上發展起來,進一步自然數論完全可在集合論中推出。這樣一來,實數論的融貫性就歸於集合論的融貫性,歸結到集合論,看來數學絕對嚴格的目的要達到了。1900年在世界數學家大會上,著名數學家龐加萊鄭重宣佈:“現在我們可以說,數學最終的嚴格性基礎已經確立了。”表達了數學家們欣欣自得的共同心情。尤其通過康托爾的工作,數學家們找到了營造數學大廈的基石:集合論。而他的無窮集合,也就成了數學家們的伊甸園。這樣,從微積分誕生之日起,數學家們歷經200多年的艱苦努力,終於迎來了輝煌的勝利。一波三折:羅素悖論的提出及解決  正當數學家們在無窮集合的伊甸園中優哉遊哉,並陶醉於數學絕對嚴格性的時候,一個驚人的消息迅速傳遍了數學界。

  “集合論是有漏洞的!”這就是,1902年,羅素得出的結論。

  羅素構造了一個集合U,U由所有不屬於自身的集合組成,U顯然存在,但U是否屬於自身呢?無論回答是否都將導致矛盾,這就是著名的羅素悖論。羅素悖論相當簡明,以致幾乎沒有什麽可以辯駁的餘地,然而它卻動搖了整個數學大廈的基石:集合論。  “絕對嚴密”“天衣無縫”的數學,又一次陷入了自相矛盾與巨大裂縫的危機之中。原本已平靜的數學水面,因羅素悖論的投入,又一石激起千重浪,令數學家們震驚之餘有些驚慌失措,這就導致了數學史上所謂的“第三次數學危機。”
  危機是由康托爾研究的無限集合引發的。危機産生後,包括羅素本人在內的萓h數學家投入到解決危機的工作中去。1908年,策梅羅提出公理化集合論,後經改進形成無矛盾的集合論公理系統,簡稱ZF公理系統,使原本直觀的集合概念建立在嚴格的公理基礎之上,從而避免了羅素悖論的産生,在表層上解決了第三次數學危機。柳暗花明又一村:無窮小重返數學舞臺

  17世紀下半葉,牛頓、萊布尼茲創立的微積分學,用了無窮小量的概念,但因對其解釋含糊不清,出現了貝克萊悖論,導致數學史上的“第二次數學危機”,19世紀,柯西、維爾斯特拉期等人引入極限論、實數論,使微積分理論嚴格化,從而避免了貝克萊悖論,圓滿解決了第二次數學危機。然而與此同時,極限方法代替了無限小量方法。無窮小量作爲“消失了量的幽魂”被排斥在數學殿堂之外了。

  1960年,美國數理邏輯學家A魯濱遜指出:現代數理邏輯的概念和方法爲“無限小”、“無限大”作爲“數”進入微積分提供了合適的框架,無窮小量堂而皇之地重返數壇,成爲邏輯上站得住腳的數學中的一員,被認爲是“復活了的無窮小”。這樣微積分創立300年後,第一個嚴格的無窮小理論才發展起來。回顧微積分學發展的歷史,無窮小分析法――極限方法――無窮小分析法,否定之否定,微積分學基礎獲得了進一步發展。實無限、潛無限

  認真考察無窮在數學中的發展歷程,可以注意到在數學無窮思想中一直存在著兩種觀念:實無限思想與潛無限思想。所謂潛無限思想是指:“把無限看作永遠在延伸著的,一種變化著成長著被不斷産生出來的東西來解釋。它永遠處在構造中,永遠完成不了,是潛在的,而不是實在。把無限看作爲永遠在延伸著的(即不斷在創造著的永遠完成不了的)過程。所謂實無限思想是指:把無限的整體本身作爲一個現成的單位,是已經構造完成了的東西,換言之,即是把無限物件看成爲可以自我完成的過程或無窮整體。數學中無限的歷史實際上是兩者在數學中合理性的歷史。

  亞堣h多德只承認潛無限,使其在古希臘數學中占統治地位。文藝復興時期後,實無限在數學中統治了三個世紀。17世紀下半葉,牛頓、萊布尼茲創立的微積分學也是以實無限小爲基礎的,在其理論中,無窮小量被看作一個實體,一個物件,正因此,早期微積分又被稱之爲“無窮小分析”。這種以實無限思想爲據的理論在其産生後的一個世紀被廣大數學家所使用,因而使這段時期成爲實無限黃金時期。微積分被形容爲一支關於“無窮的交響樂”。但由於當時人們對無窮小量概念認識模糊,導致産生了貝克萊悖論及一系列荒謬結果。在高斯時代,實無限已開始被抛棄了,尤其到了十八世紀末至十九世紀約百年時間中,隨著重建微積分基礎工作的完成,無窮小量被拒之于數學大廈之外,無窮小被看作實體的觀念在數學分析中亦被驅除了,而代之以“無窮是一個逼近的目標,可逐步逼近卻永遠達不到”的潛無限觀念。這種思想突出表現中現在標準分析中關於極限的定義中,並由此建立起了具有相當牢固基礎的微積分理論,使得潛無限思想在這段時期深入人心。然而,到本世紀六十年代,A魯濱遜創立的非標準分析,使無窮小量再現光輝,榮歸故里,重新堂而皇之的登進數學的殿堂,而可與柯西的極限分庭抗衡了。尤其,在康托爾的無窮集合論中,體現的也是“無窮集合是一個現實的、完成的“存在著的整體”的實無限思想,這就足以使得實無限思想可與潛無限思想形成“雙峰對峙”“炮馬爭雄”的局面了。

  那麽,無窮到底是實無限,抑或是潛無限呢?  兩種無窮思想在數學上經歷過“江山代有才人出,各領風騷數百年”的此消彼長與往復更圊寣A已在現代數學中日趨合流,實際上現在數學中早已是既離不開實無限思想也離不開潛無限思想了。標準分析與非標準分析的使用表明:用兩種不同的無窮思想爲據,採取不同的方式卻可以得出完全相同的結果。這殊路同歸的結局,意味著兩種無窮思想可以避開“兩虎相爭,必有一傷”而走向“平分秋色,輝映成趣”了。

  當我們上升到哲學高度時,可能會獲得對兩者關係的更清楚認識。

  辯證法告訴我們,要從整體,從兩方面看問題。如同我們所熟悉的“金銀盾”的故事那樣,看到金一面的說是金盾,見到銀一面的說是銀盾,而實際上對盾的認識應是“一面是金,一面是銀”,數學家們對無窮的認識亦相仿。看到無窮實在性一方面的說無窮是實無窮,見到無窮潛在性一面說無窮是潛無限,但對無窮的認識只能是“無窮既是實無限,又是潛無限”,無窮本身就是一個矛盾體,它既是一個需無限趨近的過程,又是一個實體,一個可研究的物件。在這一矛盾體中,矛盾的一方是實無限,另一方是潛無限而無窮正是這矛盾雙方的對立統一。事物並非只是“非此即彼”而是可以“亦此亦彼”的。潛無限作爲矛盾體的一面,是對有窮的直接否定,而實無限作爲矛盾體的另一面則是對潛無限的否定,是否定之否定。誠如徐利亞教授提出的無窮雙相性理論:實無限、潛無限只是一枚硬幣的兩面罷了。――這倒並非是哲學的玄奧思辯,而是辯證法爲我們上的生動一課。

      結語

  “數學是研究無窮的學科。”數學與無窮確實有著不解之緣。認識論說,人的認識總是由具體到抽象,而這一認識過程從一定角度看也可以說是由有限到無限的邁進,而數學是最具抽象性的學科,這亦足以說明在向無限的邁進中,數學達到的層次是最深入的。並且在數學中,無窮是永遠無法回避的。因爲數學證明就是用有限的步驟解決涉及無窮的問題。數學與無窮間的關係是剪不斷、理還亂的。從數學産生之日起,無窮就如影如隨,伴著數學的發展齊步前進。尤其當微積分産生後,數學與無窮的聯繫就更緊密了。恩格斯說:“萊布尼茲是研究無限的數學的創始人。”誠如恩格斯所言,從唯物辯證法角度來看,數學的發展從初等數學到高等數學的質的飛躍,就是數學上從研究有限到研究無限的質的飛躍。微分和積分實質上都是一種極限,而極限過程就是無限過程。因此可以說,微積分在數學樹立了一座認識無窮的不朽豐碑,另外康托爾的無窮集合論也使人們對無窮的認識上升到一個新層次。

  然而“無窮既是人類最偉大的朋友,也是人類心靈寧靜的最大敵人。”(希爾伯特語)因爲征服無窮的路畢竟是這樣地難行。在數學無窮發展歷程中,我們已經看到征服無窮的路途中,悖論是一次次出現:芝諾悖論、貝克萊悖論、羅素悖論的出現即爲例證。雖說,歷經幾百年,數代數學家的艱苦努力,建立的極限論、實數論、ZF公理系統解決了這些悖論及由此導致的危機。然而悖論的的清除,矛盾的回避也導致了數學確定性的一步步喪失。第三次數學危機只是於表面上解決了,實質上更深刻地以其他形式延續著。希爾伯特曾企圖用形式主義“一勞永逸地消除任何對數學基礎可靠性的懷疑。”然而其一攬子解決方案在1930年哥德爾發現不完備定理後宣告付之東流了。哥德爾的工作使人們對無窮的認識又上升了一個層次。人們開始更深刻地明白:任何想一勞永逸解決無窮問題的努力是烏托邦式工作不可能成功。認識無窮、征服無窮之途是漫漫無際的。然而數學中沒有不可知!經過一代代人的努力,人們對無窮的認識必將一次次上升到新的高度!

呂洞賓a神仙
初學者
初學者
 
文章: 1
註冊時間: 2006-09-16






數學故事