[文章]高斯的故事

[文章]高斯的故事

284ru8cl3 於 星期二 四月 05, 2005 10:35 am


高斯-被譽為「數學王子」的德國大數學家,物理學家和天文
    學家。

  德國大數學家高斯 ( Carl Friedrich Gauss 1777-1855 ) 是德國最偉
大,最傑出的科學家,如果單純以他的數學成就來說,很少在一門
數學的分支裡沒有用到他的一些研究成果。

      

貧寒家庭出身

  高斯的祖父是農民,父親除了從事園藝的工作外,也當過各色
各樣的雜工,如護堤員、建築工等等。父親由於貧窮,本身沒有受
過什麼教育。

  母親在三十四歲時才結婚,三十五歲生下了高斯。她是一名石
匠的女兒,有一個很聰明的弟弟,他手巧心靈是當地出名的織綢能
手,高斯的這位舅舅,對小高斯很照顧,有機會就教育他,把他所
知道的一些知識傳授給他。而父親可以說是一名”大老粗”,認為
只有力氣能掙錢,學問對窮人是沒有用的。

  高斯在晚年喜歡對自己的小孫兒講述自己小時候的故事,他說
他在還不會講話的時候,就已經學會計算了。

  他還不到三歲的時候,有一天他觀看父親在計算受他管轄的工
人們的周薪。父親在喃喃的計數,最後長嘆的一聲表示總算把錢算
出來。

  父親唸出錢數,準備寫下時,身邊傳來微小的聲音:「爸爸!
算錯了,錢應該是這樣.....。」

  父親驚異地再算一次,果然小高斯講的數是正確的,奇特的地
方是沒有人教過高斯怎麼樣計算,而小高斯平日靠觀察,在大人不
知不覺時,他自己學會了計算。

  另外一個著名的故事亦可以說明高斯很小時就有很快的計算能
力。當他還在小學讀書時,有一天,算術老師要求全班同學算出以
下的算式:
  1 + 2 + 3 + 4 + ....+ 98 + 99 + 100 = ?
在老師把問題講完不久,高斯就在他的小石板上端端正正地寫下答
案5050,而其他孩子算到頭昏腦脹,還是算不出來。最後只有高斯
的答案是正確無誤。

  原來  1 +100= 101
      2 + 99 = 101
      3 + 98 = 101
       .
       .
       .
       50 +   51 = 101

  前後兩項兩兩相加,就成了50對和都是 101的配對了
即 101 × 50 = 5050。

  按:今用公式
         
    表示 1 + 2 + ... + n

  高斯的家裡很窮,在冬天晚上吃完飯後,父親就要高斯上
床睡覺,這樣可以節省燃料和燈油。高斯很喜歡讀書,他往往
帶了一梱蕪菁上他的頂樓去,他把蕪菁當中挖空,塞進用粗棉
捲成的燈芯,用一些油脂當燭油,於是就在這發出微弱光亮的
燈下,專心地看書。等到疲勞和寒冷壓倒他時,他才鑽進被窩
睡覺。

  高斯的算術老師本來是對學生態度不好,他常認為自己在
窮鄉僻壤教書是懷才不遇,現在發現了「神童」,他是很高興
。但是很快他就感到慚愧,覺得自己懂的數學不多,不能對高
斯有什麼幫助。

  他去城裡自掏腰包買了一本數學書送給高斯,高斯很高興
和比他大差不多十歲的老師的助手一起學習這本書。這個小孩
和那個少年建立起深厚的感情,他們花許多時間討論這裡面的
東西。

  高斯在十一歲的時候就發現了二項式定理 ( x + y )n的一般
情形,這裡 n可以是正負整數或正負分數。當他還是一個小學生
時就對無窮的問題注意了。

  有一天高斯在走回家時,一面走一面全神貫注地看書,不
知不覺走進了布倫斯維克 ( Braunschweig ) 宮的庭園,這時布倫
斯維克公爵夫人看到這個小孩那麼喜歡讀書,於是就和他交談
,她發現他完全明白所讀的書的深奧內容。

  公爵夫人回去報告給公爵知道,公爵也聽說過在他所管轄
的領地有一個聰明小孩的故事,於是就派人把高斯叫去宮殿。

  費迪南公爵 ( Duke  Ferdinand ) 很喜歡這個害羞的孩子,也
賞識他的才能,於是決定給他經濟援助,讓他有機會受高深教
育,費迪南公爵對高斯的照顧是有利的,不然高斯的父親是反
對孩子讀太多書,他總認為工作賺錢比去做什麼數學研究是更
有用些,那高斯又怎麼會成材呢?

高斯的學校生涯

  在費迪南公爵的善意幫助下,十五歲的高斯進入一間著名
的學院(程度相當於高中和大學之間)。在那裡他學習了古代
和現代語言,同時也開始對高等數學作研究。

  他專心閱讀牛頓、歐拉、拉格朗日這些歐洲著名數學家的
作品。他對牛頓的工作特別欽佩,並很快地掌握了牛頓的微積
分理論。

  1795年10月他離開家鄉的學院到哥庭根 ( Gottingen )去念大
學。哥庭根大學在德國很有名,它的豐富數學藏書吸引了高斯
。許多外國學生也到那裡學習語言、神學、法律或醫學。這是
一個學術風氣很濃厚的城市。

  高斯這時候不知道要讀什麼系,語言系呢還是數學系?如
果以實用觀點來看,學數學以後找生活是不大容易的。

  可是在他十八歲的前夕,現在數學上的一個新發現使他決
定終生研究數學。這發現在數學史上是很重要的。

  我們知道當 n ≧ 3 時,正 n 邊形是指那些每一邊都相等,
內角也一樣的 n 邊多邊形。

  希臘的數學家早知道用圓規和沒有刻度的直尺畫出正三、
四、五、十五邊形。但是在這之後的二千多年以來沒有人知道
怎麼用直尺和圓規構造正十一邊、十三邊、十四邊、十七邊多
邊形。

  還不到十八歲的高斯發現了:一個正 n 邊形可以用直尺和
圓規畫出當且僅當 n 是底下兩種形式之一:
  
     k= 0,1,2, ...

  十七世紀時法國數學家費馬 ( Fermat ) 以為公式
在 k = 0, 1, 2, 3, ....給出素數。(事實上,目前只確定 F0,F1,F2,F4
是質數,F5不是)。

  高斯用代數方法解決了二千多年來的幾何難題,而且找到
正十七邊形的直尺與圓規的作法。他是那麼的興奮,因此決定
一生研究數學。據說,他還表示希望死後在他的墓碑上能刻上
一個正十七邊形,以紀念他少年時最重要的數學發現。

  1799年高斯呈上他的博士論文,這論文證明了代數一個重
要的定理:任何一元代數方程都有根。這結果數學上稱為”代
數基本定理”。

  事實上在高斯之間有許多數學家認為已給出了這個結果的
證明,可是沒有一個證是嚴密的,高斯是第一個數學家給出嚴
密無誤的證明,高斯認為這個定理是很重要的,在他一生中給
了一共四個不同的證明。高斯沒有錢印刷他的學位論文,還好
費迪南公爵給他錢印刷。

  二十歲時高斯在他的日記上寫,他有許多數學想法出現在
腦海中,由於時間不定,因此只能記錄一小部份。幸虧他把研
究的成果寫成一本叫<算學研究>,並且在二十四歲時出版,
這書是用拉丁文寫,原來有八章,由於錢不夠,只好印七章,
這書可以說是數論第一本有系統的著作,高斯第一次介紹”同
餘”這個概念。

284ru8cl3
初學者
初學者
 
文章: 17
註冊時間: 2005-03-15






數學家